第=page11页，共=sectionpages11页
湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，若(1?i)(2+ai)是纯虚数，则实数a=(????)
A.?4 B.?2 C.1 D.2
2.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是(????)
A.f(x)=1x B.f(x)=x3 C.
3.等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a
A.27 B.24 C.21 D.18
4.圆心为(2,3)且与抛物线y2
A.(x+2)2+(y+3)2=16
5.下列说法错误的是(????)
A.若随机变量X服从正态分布X～N(3,σ2)，且P(X≤4)=0.7，则P(3X4)=0.2
B.若事件M，N相互独立，P(M)=12,?P(N)=13，则P(M∪N)=56
C.对具有线性相关关系的变量x，y，利用最小二乘法得到的经验回归方程为y
6.已知双曲线C：x2a2?y2b2=1(a0,b0)
A.(1,?54) B.(0,?54)
7.在△ABC中，CA=CB=5，AB=4，点M为△ABC所在平面内一点且AM?BC=0，则
A.0 B.?1625 C.?4
8.已知函数f(x)=ex?4?e4?x+x，则满足f(2m?2)+f(m+1)8
A.(3,+∞) B.(12,+∞) C.(?∞,
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为假命题的是(????)
A.若ab，则1a1b
B.若ab0且c0，则aba+cb+c
C.不等式kx2+kx?10
10.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积记为S，若a=2，(2b?c)cosA=acosC，则(????)
A.A=π3
B.△ABC的外接圆周长为833π
C.S的最大值为3
D.若
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，点Q满足
A.AC1⊥平面A1PD
B.若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹长度为2
C.若λ+μ=12，则四面体
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(2x2
13.已知cos(α+π6)=35
14.高斯取整函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[?3.5]=?4，[2.1]=2.有如下四个结论：
①若x∈(0,1)，则f(?x)+12=?(f(x)+12)；
②函数f(x)=[x]与函数?(x)=x?1无公共点；
③k=123f(?k7)+k=1
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表：
新能源汽车A款
新能源汽车B款
总计
男性
100
20
x
女性
50
30
80
总计
y
50
200
(1)求x，y；
(2)根据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？
(3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了B款车的人数为X，求X的数学期望．
附：χ2=n(ad?bc)
P(
0.10
0.05
0.010
0.005
k
2.706
3.841
6.635
7.879
16.(本小题15分)
如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，E为以BC为直径的半圆弧上一点，平面ABCD⊥平面BCE，O为BC的中点，M为CE的中点，BE=AB=AD=DC=3，BC=6．
(1)求证：DM/?/平面ABE；
(2)求平面ABE与平面DCE的夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2+aln(x+1)．
(1)当a=?4时，求f(x)的极小值；
(2)若f(x)存在唯一极值点x0，证明：
18.(本小题17分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1,(ab0)的短轴长为2，且过点(1,32)，设点P(x0,y0)为椭圆在第一象限内一点．
(1)求椭圆方程；
(2)设椭圆的左顶点为A，下顶点为B，线段AP交y轴于点C，线段BP交x轴于点D，若△PAB的面积是△PCD的6倍，求P点的坐标；
(3)点
19.(本小题17分)
设n∈N?，已知无穷数列{an}的各项均为正整数，且a1=1，记数列{an}的前n项所构成的集合为An={a1,a2,?,an}，对于任意正整数n，从集合A