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黑龙江省哈尔滨市道外区2024-2025学年高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是(????)
A.两个单位向量一定相等
B.若a与b不共线，则a与b都是非零向量
C.共线的单位向量必相等
D.两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
2.复数(4+i)?(1+5i)的虚部为(????)
A.?4 B.4 C.?4i D.4i
3.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA：sinB：sinC=4：7：9，则cosA=(????)
A.?1921 B.863 C.19
4.已知A(2,1)，B(3,1)，C(1,5)三点，则AB?BC等于(????)
A.?15 B.?13 C.?2 D.1
5.如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，AB垂直于平面BCD.现测得∠BCD=15°，∠BDC=120°，CD=20m，并在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB=(????)
A.2063m
B.103
6.在△ABC中，BC边上的中线为AD，点O满足AO=3OD，则OC=
A.?38AB+58AC B.
7.如图，高度为?的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是(????)
A. B. C. D.
8.如果复数z满足|z+2i|+|z?2i|=4，则|z+i+1|的最小值为(????)
A.1 B.2 C.2 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(x,3)，b=(5,2)，则下列结论正确的是(????)
A.若a//b，则x=152 B.若a⊥b，则x=?65
C.若|
10.已知圆锥的顶点为S，AB为底面直径，△SAB是面积为1的直角三角形，则(????)
A.该圆锥的母线长为2 B.该圆锥的体积为13π
C.该圆锥的侧面积为π
11.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(????)
A.若AB，则sinAsinB
B.若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则△ABC是直角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数(2?i)(a+i)是纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值为______．
13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB=?3bcosA，则A=
14.六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如图所示.若此正八面体的棱长为4，则它的内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设复数z1=2?ai(a∈R)，z2=1+i．
(1)若z1+z2是实数，求z1
16.(本小题12分)
已知a与b是平面内的两个向量，|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为π4．
(1)求a?b；
(2)求|a+2b
17.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2+c2?a2=bc．
(1)求A．
(2)若b=2c，且三角形的面积为
18.(本小题12分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，截去三棱锥A1?ABD，求
(1)截去的三棱锥A1?ABD的表面积；
(2)剩余的几何体A1
19.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(b,a+c)，n=(b?c,c?a)，且m⊥n．
(1)若边a=8，AB?AC=6，∠BAC的平分线交BC边于点D.求AD的长；
(2)若E为BC边上任意一点，AE=1
答案和解析
1.【答案】B?
【解析】解：对于A：单位向量的长度一定相等，但是方向不一定相同，故A错误；
对于B：若a和b不共线，则a和b都为非零向量，故B正确；
对于C：共线的单位向量长度必相等，方向可能相同也可能相反，故C错误；
对于D：两个相等向量的起点不一定相同，故D错误．
故选：B．
直接利用向量的相关定义和单位向量的定义判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识点：向量的定义，主要考查学生对基础知识点的理解，属于基础题．
2.【答案】A?
【解析】解：复数(4+i)?(1+5i)=3?