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湖北省2025届高三下学期新高考信息卷（四）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、未知
1．已知集合，，则（????）．
A． B． C． D．
二、单选题
2．复数的虚部是（????）
A． B．1 C． D．
3．已知向量与的夹角为，，设在上的投影向量为，则（???）
A． B． C． D．
4．已知棱长为1的正方体分别是AB和BC的中点，则MN到平面的距离为（????）
A． B． C． D．
三、未知
5．设随机事件A，B满足，，则（????）．
A． B． C． D．
6．已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（????）．
A． B．
C． D．
四、单选题
7．若，为锐角，则（???）
A． B． C． D．
五、未知
8．已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（????）．
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
9．某班组织学生进行跳绳运动，统计部分学生一分钟内跳绳个数的数据如下：
学生人数
1
2
3
4
5
6
7
8
跳绳个数
123
150
180
98
120
120
78
131
下列说法正确的有（????）．
A．跳绳个数的中位数为98 B．跳绳个数的极差为102
C．跳绳个数的众数为120 D．跳绳个数的平均数为125
六、多选题
10．已知函数及其导函数的定义域均为，记.若为偶函数，是奇函数，且且，则（????）
A． B．
C． D．
七、未知
11．已知点是椭圆的右焦点，点A，B分别是椭圆的左、右顶点，过点F的直线l与椭圆交于P，Q两点，点P在第一象限，用，，分别表示直线，，的斜率，，则（????）．
A． B．
C． D．面积的最大值为
12．已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为．
13．在的展开式中，常数项为60，则项的系数为．
八、填空题
14．若，，记数列的前项和为，则的最小值为.
九、未知
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求C；
(2)若边上的高为，求的最小值．
16．如图，已知正三棱台的体积为，．
(1)求棱台的高；
(2)求二面角的正弦值．
十、解答题
17．已知函数在区间内有两个极值点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若的极大值和极小值的差为，求实数的取值范围.
十一、未知
18．若圆锥曲线上的点列经过一系列变换后得到的点列在椭圆上，则称为“下蛋点列”．已知抛物线的焦点为，数列满足，点在抛物线C上．
(1)求，．
(2)若，记，．
①证明：；
②若点列是“下蛋点列”，请判断是否恒为偶数，并说明理由．
19．我们将借助导数求随机变量的期望和方差的方法称为微分恒等式法，微分恒等式法既可以用于实验次数有限的情况，也可以用于实验次数无限的情况．微分恒等式法的一个应用案例如下：
关于x的恒等式满足，
对等式两边求导可得．
移项得．
某校师生在操场上欢庆元旦，其中有一项套圈活动备受欢迎，活动规则为每人累计次未套中时则停止套圈，否则可以继续套圈．若每人每次套中的概率为，且每次套中与否互不影响，每次套中后积1分，将每位参与活动的师生所得积分记为随机变量X．
(1)若，，求的概率；
(2)求，，的概率，并写出随机变量X的分布列；
(3)用微分恒等式法求随机变量X的数学期望，并据此估计当，时每位参与该项活动的师生的积分．