专题16.1幂的运算【八大题型】
【人教版】
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【题型1幂的基本运算】 1
【题型2幂的运算法则逆用（比较大小）】 2
【题型3幂的运算法则逆用（求代数式的值）】 4
【题型4幂的运算法则逆用（整体代入）】 5
【题型5幂的运算法则逆用（求参）】 6
【题型6幂的运算法则逆用（代数式的表示）】 8
【题型7幂的运算法则（混合运算）】 10
【题型8幂的运算法则（新定义问题）】 13
【知识点1幂的运算】
①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
【题型1幂的基本运算】
【例1】（2022?谷城县二模）下列各选项中计算正确的是（）
A．m2n﹣n＝n2 B．2（﹣ab2）3＝﹣2a3b6
C．（﹣m）2m4＝m8 D．x
【分析】根据实数的运算法则计算各个选项得出结论即可．
【解答】解：A．m2n﹣n＝n（m2﹣1），故A选项不符合题意；
B.2（﹣ab2）3＝﹣2a3b6，故B选项符合题意；
C．（﹣m）2m4＝m6，故C选项不符合题意；
D.x6yx
故选：B．
【变式1-1】（2022秋?南陵县期末）(5
A．1 B．512 C．225
【分析】根据xa?ya＝（xy）a，进行运算即可．
【解答】解：原式＝（512×12
=5
故选：B．
【变式1-2】（2022秋?孝南区月考）计算x5m+3n+1÷（xn）2?（﹣xm）2的结果是（）
A．﹣x7m+n+1 B．x7m+n+1 C．x7m﹣n+1 D．x3m+n+1
【分析】利用同底数幂的乘法运算、幂的乘方以及同底数幂的除法的知识求解即可求得答案．
【解答】解：x5m+3n+1÷（xn）2?（﹣xm）2＝x5m+3n+1÷x2n?x2m＝x5m+3n+1﹣2n+2m＝x7m+n+1．
故选：B．
【变式1-3】（2022秋?温江区校级期末）下列等式中正确的个数是（）
①a5+a5＝a10；②（﹣a）6?（﹣a）3?a＝a10；③﹣a4?（﹣a）5＝a20；④25+25＝26．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①和④利用合并同类项来做；②③都是利用同底数幂的乘法运算法则做（注意一个负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数）．
【解答】解：①∵a5+a5＝2a5，故①的答案不正确；
②∵（﹣a）6?（﹣a）3?a＝﹣a10故②的答案不正确；
③∵﹣a4?（﹣a）5＝a9，故③的答案不正确；
④25+25＝2×25＝26．故④的答案正确；
所以正确的个数是1，
故选：B．
【题型2幂的运算法则逆用（比较大小）】
【例2】（2025春?宣城期末）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【分析】将a、b、c转化为同底数形式，即可比较大小．
【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124；
b＝2741＝（33）41＝3123；
c＝961＝（32）61＝3122；
∴3124＞3123＞3122，
即a＞b＞c．
故选：A．
【变式2-1】（2025春?晋州市期中）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，根据上述材料，回答下列问题．
（1）比较大小：520＞420，961＜2741；（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）比较233与322的大小；
（3）比较312×510与310×512的大小．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，”即可比较520，420的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个暴ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac”，即可比较961，2741的大小；
（2）据“对于同底数，不同指数的两个暴ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac”，即可比较233与322的大小；
（3）利用作商法，即可比较312×510与310×512的大小．
【解答】解：（1）∵5＞4，
∴520＞420，
∵961＝（32）61＝3122，2741＝（33）41＝3123，122