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2023年清华大学丘成桐数学英才班测试数学试题

2023年12月24日

2023年清华大学丘成桐数学英才班测试数学试题解答

1、证明：h2xrxsxn?

()()()x1p

(mod)

又不整除，因此nnn

n(x?1nx?nx??hx≡p

,1

)(1

,1

p)()1(mod)

2、证明：任取一个，由于各不相同，因此至多存在一个，若对任意，

xiyjyjxi1≤j≤m

y≠x。因此y,y,?,中至少有一个不与，相等。由插值公式，

ji12ymyixij≠iLagrange

存在一个至多2m?1次的多项式f(x)a2m?1x2m?1+a2m?2x2m?2+?+a0满足

2m?1

r

∑ax

mmrk

f(xk)r0

f(xj)0,j≠if(xi)ixi,f(yt)tyt,f(yi)0,i≠t。从而∑∑

k1kk1k

2m?1

r

∑ay

mf(xk)mr0rkmf(yk)

∑∑∑?xiyt，矛盾。

k1k