关于二次函数与不等式第1页，共11页，星期日，2025年，2月5日1.方程f(x)=0有两正根?一、二次方程ax2+bx+c=0(a0)的实根分布问题记f(x)=ax2+bx+c(a0),△=b2-4ac≥0.x1+x2=-0abacx1x2=0?△=b2-4ac≥0f(0)0.-02ab2.方程f(x)=0有两负根?△=b2-4ac≥0.x1+x2=-0abacx1x2=0?△=b2-4ac≥0f(0)0.-02ab4.方程f(x)=0的两实根都小于k?△=b2-4ac≥0f(k)0.-k2ab3.方程f(x)=0有一正根一负根?f(0)=c0.5.方程f(x)=0的两实根一个大于k,另一个小于k?f(k)0.第2页，共11页，星期日，2025年，2月5日6.方程f(x)=0的两实根都大于k?△=b2-4ac≥0f(k)0.-k2ab7.方程f(x)=0的两实根都在区间(m,n)内?f(m)0△=b2-4ac≥0m-n2abf(n)0.8.方程f(x)=0的两实根中,有且只有一个在区间(m,n)内.?f(m)f(n)0,或f(m)=0m-,2abm+n2-n.2abm+n2f(n)=0或思考方程的两根有且只有一个在区间[m,n]上时等价于?9.方程f(x)=0的两根分别在区间(m,n)和(p,q)(np)内.?f(m)0f(n)0f(p)0f(q)0.注涉及方程f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题,一般情况下要从四个方面考虑:①f(x)图象的开口方向;②方程f(x)=0的判别式;④区间端点处函数值的符号.③f(x)图象的对称轴与区间的关系;第3页，共11页，星期日，2025年，2月5日例1．已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围.解题分析：函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，就是表明关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0至少有一个正根，可借助根与系数的关系来解。解：若m=0，则f(x)=-3x+1,显然满足要求.若m≠0，有两种情况：综上可得m∈(-∞,1]第4页，共11页，星期日，2025年，2月5日例2.已知对于x的所有实数值，二次函数的值都非负，求关于x的方程的根的范围.解题分析：由已知方程将x表示为a的函数，这样求方程根的问题就转化成求函数值域的问题。解：由已知得，△≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,原方程化为x=-a2+a+6第5页，共11页，星期日，2025年，2月5日解：由已知得，△≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,(2)当1≤a≤2时，原方程化为x=a2+3a+2它在[1,2]上为增函数，∴6≤x≤12例2.已知对于x的所有实数值，二次函数的值都非负，求关于x的方程的根的范围.第6页，共11页，星期日，2025年，2月5日例3.已知函数f(x)=ax2+4x+b(a0,a,b?R).设关于x的方程f(x)=0的两根分别为x1,x2,f(x)=x的两根分别为?,?.(1)若|?-?|=1,求a,b满足的关系式;(2)若a,b均为负整数,且|?-?|=1,求f(x)的解析式.a2+4ab=9(a0,a,b?R);f(x)=-x2+4x-2.第7页，共11页，星期日，2025年，2月5日练习1.1.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范2.已知函数f(x)=x2-(2a-1)x+a2-2与非负轴至少有一个交点，求的取值范围．第8页，共11页，星