田莘耕中学七年级数学竞赛试卷
考试时间：60分钟；总分：100分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
1．已知x为实数，且的值是一个确定的常数，则这个常数是（????）．
A．5 B．10 C．15 D．75
2．如图，在数轴上标出若干点，每相邻两点长为1，P，Q，R，S，T对应的整数分别为p，q，r，s，t，且，则原点对应的点是（????）
A．P B．Q C．R D．S
3．某大学毕业生为自主创业于2021年8月初向银行贷款360000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2021年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因经营状况良好，准备向银行申请提前还款，计划于2026年8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（????）（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成．一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数；另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．1年按12个月计算）
A．18300元 B．22450元 C．27450元 D．28300元
4．由1、2、3、4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足．这样的四位数共有（????）
A．36个 B．40个 C．44个 D．48个
5．方程的解是x＝（）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
6．如图，，BF，DF分别平分和，，与互补，则的度数为______．
7．如图所示：已知，，现有点和点分别从，两点出发相向运动，点速度为，点速度为，当到达点后掉头向点运动，点在向的运动过程中经过点时，速度变为，，两点中有一点到达点时，全部停止运动，那么经过____后的距离为．
8．已知等边△ABC的高为6，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到直线AB的距离是1，点P到直线AC的距离是3，则点P到直线BC的距离可能是_______．
9．如图，直线分别与直线，相交于点，，且．点在直线，之间，连接，，射线是的平分线，在的延长线上取点，连接，若，，则的度数为___________．
10．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点，连接．
（1）阴影部分的周长为______；
（2）若三角形的面积比三角形的面积大，则的值为______．
11．现有浓度不同的A、B、C三种盐水，其中B种盐水质量为10千克，A、C两种盐水的质量都为整数．如果从A、B两种盐水中倒出2m千克，将倒出的A种盐水与B种盐水余下的部分混合，将倒出的B种盐水与A种盐水余下的部分混合，那么混合后两种盐水浓度相同；如果从A、C两种盐水中各倒出m千克，将倒出的A种盐水与C种盐水余下的部分混合，将倒出的C种盐水与A种盐水余下的部分混合，那么混合后两种盐水浓度相同．则A种盐水原来的质量为________千克．
三、解答题（本大题共5小题，共61分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
12．（本题10分）解方程：（1）
（2）
13．（本题10分）将1，2，3，…，16这16个数分成8组若．求的最小值．
必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设，为两组实数，是的任一排列，
则．
14．（本题10分）下列m个整数中恰有69个不同的整数，问自然数m的最大值和最小值分别是多少？
.
15．（本题15分）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒．
(1)当___________秒时，平分；
(2)①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与数量关系为___________；
②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由．
(3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请直接写出在旋转过程中，与的数量关系．
16．（本题16分）如图，直线PQMN，一副直角三角板中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
(1)若△DEF如图1摆放，当平分时，证明：平分．
(2)若如图2摆放时，则
(3)若图2中△ABC固定，将△DEF沿着方向平移，边与直线相交于点，作和的角平分线相交于点（如图3），求的度数．
(4)若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，2分钟转半圈，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与△DEF的一条边平行时，请求