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例题解析

22

．（分）已知双曲线C:x?y1(a?0,b?0)的离心率为，且点A(2,1)在双曲线上

113222C.

ab

求双曲线的方程；

(1)C

若点，在双曲线上，且AM?AN，直线不与轴平行，证明：直线的斜率为定

(2)MNCMNyMNk

值.

答案】(1)y28x

(2)x?y?20或x?y?20

【分析】（）联立方程利用Δ0运算求解；（）分析可得MNMA，设的方程为xmy?2，

12l

联立方程结合韦达定理运算求解.

yx?2

?

2

【详解】（）联立方程，消去得y?2py?4p0，

1?2x

?y2px

2

抛物线与直线yx?2相切，则??2p?4?4p0，解得p4或p0（舍去）

∵C??

故抛物线的方程：y28x

C.

?x?xy?y?

xmy?2,Ax,y,Bx,yM12,12

（）设的方程为????，则线段的中点，

2l1122AB??

?22?

x?x

过作抛物线的准线x?2的垂线，垂足为，则ABx?x?4,MN12?2，即

MN12

2

AB2MN2MA