热点11空间几何体
年份
2022
2023
2024
角度
题号
角度
题号
角度
题号
新高考Ⅰ卷
空间几何体的表面积与体积
4
空间几何体的表面积与体积
14
空间几何体的表面积与体积
5
新高考Ⅱ卷
空间几何体的表面积与体积
11
空间几何体的表面积与体积
14
—
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考向一空间几何体的结构特征
【典例1】(2024·北京高考)已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥,四条侧棱长分别为4,4,22,22,则该四棱锥的高为(D)
A.22 B.32 C.23 D
【审题思维】
第一步
由于四条侧棱长分别为4,4,22,22,所以应分相邻的棱长相等或相对的棱长相等两类分类讨论求解
第二步
通过构造面面垂直,利用面面垂直的性质作出锥体的高进而求解
【题后反思】
1.正棱锥中直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高为PO,底面为正方形,作PE⊥CD于E,则PE为斜高.
(1)斜高、侧棱构成直角三角形,如图中Rt△PEC.
(2)斜高、高构成直角三角形,如图中Rt△POE.
(3)侧棱、高构成直角三角形,如图中Rt△POC.
2.正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例),O1,O分别为上、下底面的中心,作O1E1⊥B1C1于E1,OE⊥BC于E,则E1E为斜高,
(1)斜高、侧棱构成直角梯形,如图中梯形E1ECC1.
(2)斜高、高构成直角梯形,如图中梯形O1E1EO.
(3)高、侧棱构成直角梯形,如图中梯形O1OCC1.
【典例2】(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为2①,其侧面展开图为一个半圆②,则该圆锥的母线长为(B
A.2 B.22 C.4 D.42
【审题思维】
①
圆锥的底面周长为2π·2
②
侧面展开图为扇形,其圆心角为π
【题后反思】
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
项目
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧=2πrl
S圆锥侧=πrl
S圆台侧
=π(r1+r2)l
2.与圆锥有关的截面问题的解决策略
求解有关圆锥的基本量的问题时,一般先画出圆锥的轴截面,得到一个等腰三角形,进而可得到直角三角形,将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解.通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时,都是通过取其轴截面,化归求解.巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决.
考向二空间几何体的表面积与体积
【典例1】(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,则圆锥的体积为(B)
A.23π B.33π C.63π D.93π
【审题思维】
设出底面半径r,进而可得母线长,然后根据侧面积相等,求出半径r的大小,最后由体积公式求得圆锥的体积.
【题后反思】
柱、锥、台、球体的表面积和体积
几何体名称
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积=S侧+2S底
V=S底h
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积=S侧+S底
V=13S底
台体(棱台和圆台)
S表面积=S侧+S上+S下
V=13(S上+S下+S上
球
S=4πR2
V=43πR
【典例2】(1)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为(7≈2.65)(C)
A.1.0×109m3 B.1.2×109m3
C.1.4×109m3 D.1.6×109m3
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)正四棱台ABCDA1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=2,则该棱台的体积为?766
【审题思维】
首先求出棱台的上、下底面面积及台体的高,然后利用台体的体积公式计算即可.
【题后反思】
求空间几何体体积的常见类型及思路
(1)规则几何体:若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解.其中,求三棱锥的体积常用等体积转换法;
(2)不规则几何体:若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.
基本策略:
①“转”:转换底面与高,将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面,或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高,即等体积法.
②“拆”:将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算,即分割法.
③“拼”:将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复原成一个三棱柱,将一个三棱柱复原成一个四棱柱,这些都是拼补的方法,即补形法.
【真题再现】
1.★★★☆☆(2