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2024学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测
数学试题卷
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2.函数是（）
A.奇函数 B.偶函数
C.既非奇函数也非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数
3.已知直线y=2x是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（）
A. B. C. D.或
4.将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则是偶函数是的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知向量，若，则（）
A.1或 B.或
C.或2 D.或1
6.设，满足.若函数存在零点，则（）
A B. C. D.
7.已知，则（）
A.1 B.2 C.3 D.2
8.对，不等式恒成立，则（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（）
A. B.
C D.
10已知函数，则（）
A.若，则
B.若，则
C.若，则在0,1上单调递减
D.若，则上单调递增
11.已知函数定义域为，若，则（）
A. B.
C. D.
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.曲线在点处的切线的斜率是_________.
13.已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则_____，_____.（写出满足条件的一组和）
14.已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则_____.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知在中，.
（1）判断的形状，并说明理由;
（2）若点在AB边上，且.若，求的面积.
16.在直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为.
（1）求的方程;
（2）若点关于直线对称的点在上，求的值.
17.一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵.
（1）若，求此时的信息熵;
（2）最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义.
（参考不等式:若，则）
18.已知函数.
（1）若，求的单调区间;
（2）若，求证:;
（3）若使得，求证:.
19.已知正项有穷数列，设，记的元素个数为.
（1）若数列，求集合，并写出的值;
（2）若是递增数列或递减数列，求证:”的充要条件是“为等比数列”;
（3）若，数列由这个数组成，且这个数在数列中每个至少出现一次，求的取值个数.