对称思想数学论文2200字_对称思想
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对称思想数学论文2200字(一)：例谈高中数学排列组合解
题中的对称思想论文
摘要：许多数学问题所涉及的对象具有对称性，不仅包括数的对称、图形的
对称等，对称更是一种思想方法。探究问题的深层次结构及其解法的深层次原理，
让方法得到思维策略层面的升华。
关键词：排列组合；深层次结构；原理；对称思想
现实生活中许多事物都具有某些对称性，对称给人们以和谐、平衡的美感。
数学来源于生活，许多数学问题中涉及的对象都具有对称性，不仅包括数的对称、
图形的对称等。对称不仅是一个数学概念，更是一种思想方法。
本文结合具体实例，和大家一起探讨高中数学排列组合问题中怎样发现或挖
掘问题中的对称特征，怎样利用对称思想使解题方法简洁明快，以达到拓展学生
的解题思路，培养学生的思维能力。
例1：将4个相同的红球和4个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给
它们赋以编号l，2，…，8.则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有_______
种。
解析：注意到4个相同的红球没有区别，4个相同的黑球也没有区别，先求
出任意排放的排法pagenumber_ebook=322，pagenumber_book=75=70，
而其中会出现红球的编号之和与黑球编号之和相等的情况。所有编码之和（1+2
+3+4+5+6+7+8）等于36，则红球的编号之和与黑球编号之和都等于18。
根据对称性（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），在1、2、3、4中
选择2个数为红球编号有pagenumber_ebook=322，pagenumber_book=75
=6种，则在5、6、7、8中红球的编号也就确定。
解析：（1）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能
为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，
有10种选法；故4位回文数有9×10=90个，故答案为90；
ABABBABA若A在1、2、3、4中选择了1、3，则利用对称性，在5、6、
7、8中只能选择8、6与之对应；
除了上述情形外，利用对称性红球的编号之和等于黑球编号之和还包括（1、
4、6、7）与（2、3、5、8）；
因为红球的编号之和小于黑球编号之和的排法和大于的排法一样，则红球的
编号之和小于黑球编号之和的排法有pagenumber_ebook=322，pagenumber
_book=75=31种。
【点评】研究本题根据数列排序的特征，要保证两组数之和始终都等于18，
只需左右编号选择对称即可，且大于与小于的情况各占一半。解题时我们必须探
究问题的深层次结构及其解法的深层次原理，让方法得到思维策略层面的升华。
变式1：将三个相同的红球和三个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次
给它们赋以编号1，2，…，6.则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有多少
种？
解：由题意，全部的排列办法有pagenumber_ebook=322，pagenumber
_book=75=20种，因为编号之和没有相等的，只有红球的编号之和小于黑球的
编号之和、红球的编号之和大于黑球的编号之和两种情形，利用对称思想，红球
的编号之和小于黑球编号之和的排法共有20÷2=10种。
例2：回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，121，34
43，94249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.3位回文数有90
个：101，111，121，…，191，202，…，999.（*）则：（1）4位回文数有__
_个；（2）2n+1（n∈N*）位回文数有___个.（**）
如
（2）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；
第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×
×10=10n种选法，故2n+1（n∈N*）位回文数有9×10n个，故答案为9×10n。
【点评】一题两问，以“回文数”为新背景，考查计数原理，观察它的构成
特点，左右对称，利用对称思想解决，将新信息转化为所学的数学知识来解决
例3：由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复的六位数，其中个位数小于
十位数的有几个？（用对称思想怎么解？）
解析：在上述的6位数的集合A中，把个位和十位交换，就能得到一个6位
数，这个6位数还是在A