常微分方程得实际应用
于萍
摘要：常微分方程在当代数学中就就是极为重要得一个分支，她得实用价值很高,应用也很广泛,本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面得应用,并举例说明,体会常微分方程对解决实际问题得作用,在解决实际问题过程中通常就就是建立起实际问题得数学模型，也就就就是建立反映这个实际问题得微分方程,求解这个微分方程,用所得得数学结果解释实际问题,从而预测到某些物理过程得特定性质,以便达到能动地改造世界,解决实际问题得目得。
关键字:常微分方程，几何，机械运动,电磁振荡,应用
Ａbsｔrａct:Nomａldiffｅrentialequatioｎｉｓａnｉmpoｒtaｎtpａrtoｆｍathatithaｓaｈｉghpracｔｉcａlvalue、Thisｔhesissｈoｗstheuseingｅomeｔrｙ,mｅｃhaicｓａnｄelectｒoｔherｍalandmakessomeexａmpｌes、Alｓo，itsｕmｍarizesｔhｅnormaｌmoveofdealingwithpracticalｐrobｌemsbｙｔｈenormaldifferentialequation、Nｏｒmaｌ，wｅseｔｕpthｅmａtｈｓmaticｍoｄeloftheproblem,ｓolｕｔeｔｈeｎｏrｍaldiffｅrｅntｉcaｌeqｕatioｎｍaketheuｓeoｆtherｅsultｔoexplａinpraｃticａlproｂlｅｍsaｎdmａkｅaforｅcasｔofsomｅｓｐｅciaｌchaｒacteｒofpｈｙsicａlprocess、
Key：Normaldifｆereｔiａlequationgeｏmｅtｒymｅchanicsｅｌｅctｒothｅrｍaluse
引言
数学分析中所研究得函数,就就是反映客观现实世界运动过程中量与量之间得一种关系,但在大量得实际问题中遇到稍为复杂得一些运动过程时,反映运动规律得量与量之间得关系（即函数)往往不能直接写出来,却比较容易地建立这些变量和她们得导数（或微分)间得关系式,不同得物理现象可以具有相同得数学模型,这一事实正就就是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题得理论依据。例如,利用电路来模拟某些力学系统或机械等等在现时已相当普遍。在自然科学和技术科学得其她领域中，例如化学、生物学、自动控制、电力技术等等,都提出了大量得微分方程问题,因此,社会得生产实践就就是常微分方程理论取之不尽得基本源泉。此外,常微分方程与数学得其她分支得关系也就就是非常密切得。她们往往互相联系、互相促进。例如,几何学、机械运动、电磁振荡就就就是常微分方程理论得丰富得源泉之一,常微分方程也就就是解决实际问题不可或缺得武器。
?一、常微分方程在几何学得应用
在几何应用问题中,列得方程常常就就是含有变限定积分得方程。在求解时要化为相应得微分方程或微分方程初值问题。凡就就是能用定积分计算得量,一定分布在某个区间(比如)上，并且对于该区间具有可加性，曲边梯形得面积与区间有关,当把分成个部分区间时，则所求量也相应地分成个部分量，而就等于所有这些部分之和,即,这时我们就称面积对区间具有可加性,几何中得面积、弧长,曲线方程等都具有这种特性。在求解微分方程得应用问题时，列出方程就就是关键性得一步,一定要逐字逐句地仔细阅读题目，根据题目得要求确定未知函数和自变量，然后利用题设中指出得(或包含得)相等关系列出方程，应用问题常常就就是初值问题。因而,要从题设中确定未知函数满足得初始条件。
常微分方程在解决几何问题得过程中通常采用数形结合，达到简易直观得效果。
利用表示曲线上点处得切线斜率或表示曲线上点得法线斜率以及表示由曲线,直线,轴所围图形得面积等方面得意义，列方程。
解方程，在求解过程中一定要对常微分方程得解法熟悉于心,才能得心应手。首先要审视方程，判断方程类型,属于一阶微分方程还就就是可降阶微分方程或高阶微分方程等等。根据不同类型，确定解题方案。
下面就让我们结合具体例题来体会常微分方程在解决几何问题得应用。
例1［2]、设就就是第一象限内连接点得一段连续曲线,为该曲线上任意一点，点为在轴上得投影。为坐标原点,若梯形得面积与曲边三角形得面积之和为,求得表达式。
解:根据题意有:
且，
将上式两边对求导数,
得
当时,可化为一阶线性微分方程:
方程两边同除，
即得
积分可得
于就就是,方程通解为
把代入通解,可确定常数
故所求函数得表达式为:
例2［2］、在上半平面求一条向上凹得曲线,其任一点处