关于二元函数的极限第1页，共38页，星期日，2025年，2月5日回忆一元函数的极限.设y=f(x),当x不论是从x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时,对应的函数值无限接近于数A.表示如图xyA0f(x)f(x)y=f(x)x0xxx?x0就是??0,??0.当0|x–x0|?时,有|f(x)–A|?.第2页，共38页，星期日，2025年，2月5日设二元函数z=f(X)=f(x,y),定义域为D.如图Dz=f(x,y)XX如果当X在D内变动并无限接近于X0时(从任何方向,以任何方式),对应的函数值f(X)无限接近于数A,则称A为当X趋近于X0时f(X)的极限.MX0Ayzxof(X)第3页，共38页，星期日，2025年，2月5日类似于一元函数,f(X)无限接近于数A可用|f(X)–A|?刻划.而平面上的点X=(x,y)无限接近于点X0=(x0,y0)则可用它们之间的距离第4页，共38页，星期日，2025年，2月5日设二元函数z=f(P)=f(x,y).定义域为D.P0=(x0,y0)是D的一个聚点.A为常数.若??0,??0,当对应的函数值满足|f(P)–A|?则称A为z=f(P)的,当P趋近于P0时(二重)极限.记作或也可记作f(P)?A(P?P0),或,f(x,y)?A(x?x0,y?y0)定义1第5页，共38页，星期日，2025年，2月5日注定义中要求X0是定义域D的聚点,这是为了保证P0的任意近傍总有点P使得f(P)存在,进而才有可能判断|f(P)–A|是否小于?的问题.若D是一区域.则只须要求就可保证P0是D的一个聚点.第6页，共38页，星期日，2025年，2月5日说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二重极限的几何意义：??0，?P0的去心?邻域oU(P0,?)。在oU(P0,?)内，函数的图形总在平面及之间。第7页，共38页，星期日，2025年，2月5日例1用“”定义验证极限证明??因为第8页，共38页，星期日，2025年，2月5日先限制在点（2，1）的的方邻域?内讨论，则有所以第9页，共38页，星期日，2025年，2月5日于是，取，则当时，就有由二元函数极限定义知??第10页，共38页，星期日，2025年，2月5日例求证证当时，原结论成立．第11页，共38页，星期日，2025年，2月5日例2．设证明证明：?对函数的自变量作极坐标变换这时等价于对任何都有.由于?第12页，共38页，星期日，2025年，2月5日因此，，只须取，当时，不管取什么值都有所以?第13页，共38页，星期日，2025年，2月5日定理16.5的充要条件是：对于的任一子集,只要是的聚点，就有推论1设是的聚点.若不存在，则也不存在第14页，共38页，星期日，2025年，2月5日推论2设是它们的聚点，但,则不存在若存在极限第15页，共38页，星期日，2025年，2月5日推论3极限存在的充要条件是：对于中任一满足条件且的点列，它所对应的函数列都收敛.上述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数的海涅归结原则第16页，共38页，星期日，2025年，2月5日注意：是指P以任何方式趋于P0.一元中多元中第17页，共38页，星期日，2025年，2月5日确定极限不存在的方法：(1)令),(yxP沿)(00xxkyy-+=趋向于),(000yxP，若极限值与k有关，则可断言极限不存在；(2)找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx??存在，但两者不相等