关于向量的数量积和向量积第1页，共16页，星期日，2025年，2月5日一、两向量的数量积1定义两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积，称为向量a与b的数量积，记作a·b,即数量积也称点积。力学意义：一物体在力F的作用下，沿直线AB移动了S，F与AB的夹角为α,如右图，则力对物体做的功为BSAθF第2页，共16页，星期日，2025年，2月5日2性质：（1）a·a=|a|2（2）（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有第3页，共16页，星期日，2025年，2月5日3运算律（1）交换律（2）分配律（3）结合律其中λ为常数。4数量积的计算公式设向量则有第4页，共16页，星期日，2025年，2月5日证明：则有两非零向量a和b的夹角θ的余弦坐标表示为第5页，共16页，星期日，2025年，2月5日此时，对于非零向量a，b，有5向量在轴上的投影设A为空间一点，u轴已知，如图。Au过点A作与轴垂直的平面，平面与轴的交点A‘称为A在轴上的投影。A对于已知向量，u轴上的有向线段的模称为向量在轴u上的投影，它是一个数量，记作BB第6页，共16页，星期日，2025年，2月5日那么θ为向量与轴u的夹角。用e表示u轴上的单位向量，则a·e为向量a在e方向上的投影，那么有例1已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}，求：（1）a·b；（2）a与b的夹角；（3）a在b上的投影。第7页，共16页，星期日，2025年，2月5日解：（1）（2）所以（3）因为所以第8页，共16页，星期日，2025年，2月5日例2求证余弦定理θ为边CA，CB的夹角。证明：如图所示的△ABC，令ABCθ可得那么所以证毕第9页，共16页，星期日，2025年，2月5日二、两向量的向量积1定义设向量c由两个向量a和b按下列规定给出：（1）|c|=|a||b|sinθ，θ为向量a和b的夹角；（2），且向量a，b，c的方向满足右手定则，如图；那么向量c称为向量a和b的向量积，记作a×b，即C=a×b向量积又称为叉积。★向量积模的几何意义是：以a，b为邻边的平行四边形的面积。abcθ第10页，共16页，星期日，2025年，2月5日O为一根杠杆L的支点，LOPF有一个力F作用于其上点P处，F与的夹角为θ，θ由力学规定，力F对支点O的力矩是一个向量M，Q它的模而M的方向垂直于与F所决定的平面，M的指向是是按右手规则从以不超过π的角的转向F来确定，因而实际上★力学意义：力矩，如下图所示。第11页，共16页，星期日，2025年，2月5日2两向量积的性质（1）a×a=o；（2）（3）若a≠o，b≠o，a，b的夹角为θ，则3两向量的向量积的运算律（1）a×b=-b×a；（2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b（λ为常数）（3）（a+b）×c=a×c+b×c第12页，共16页，星期日，2025年，2月5日