4.1导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）
一．导数的概念
1.如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极根，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或，
即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))
2.当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))
二．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，
相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)（点斜式）
三．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
＝nxn－1
f(x)＝sinx
＝cosx
f(x)＝cosx
－sinx
f(x)＝ax(a0且a≠1)
＝axlna
f(x)＝ex
＝ex
f(x)＝logax(x0，a0且a≠1)
＝eq\f(1,xlna)
f(x)＝lnx(x0)
＝eq\f(1,x)
四．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝±
(2)[f(x)·g(x)]′＝g(x)＋f(x)
(3)(g(x)≠0)
五．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
导数概念理解
f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))，应是两个变量的差值，如果不是两个变量的差值，要进行拼凑
导数运算
连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导
三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式：化为和、差形式，再求导
复合函数：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
导数的几何意义
在型与过型的切线方程
1.在型
2.过型
3.求参
（1）斜率：
（2）代点：切点在切线上，代入切线方程；切点在曲线上，代入曲线
五．公切线
法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
法二：设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2)，
则f′(x1)＝g′(x2)＝eq\f(f?x1?－g?x2?,x1－x2).
法三：两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
六．切点或切线数量
1.判断切点或切线数量：利用在型或过型列出关于切点x0的方程f(x0)，判断方程解的个数：
（1）f(x0)是一元二次方程，可以用判别式判断
（2）f(x0)若不是一元二次方程，则判断其零点个数或与x轴交点的个数，一般采用图像法；画未学过函数图像一般需要知道单调区间（导数法），极值和端点值或端点值的正负
2.已知切点或切线数量求参：一般采用分离参数，变成两个函数的交点个数问题
考法一导数的概念及应用
【例11】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（????）
A．2 B．1 C．1 D．
【答案】C
【解析】.
故曲线在点处的切线斜率为.故选：C
【例12】（2023湖南）如图，直线是曲线在处的切线，则___________.
【答案】
【解析】直线过点，，直线斜率，
又直线是在处的切线，，又，.故答案为：.
【例13】（2023·云南）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图知：，即.故选：A
【例14】（2022·湖北·武汉市第一中学）已知，则（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，所以，解得；故选：B
【一隅三反】
1．（2023春·河南）已知是函数的导函数，若，则（????）
A． B．2 C． D．8
【答案】C
【解析】