§1大数定律第五章大数定律与中心极限定理*/8*第五章大数定律与中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:与大数定律中心极限定理阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定律都称为大数定律。论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一分布的定理称为中心极限定理。(ε是任一正数)1.对于任何具有有限方差的随机变量X，都有则(以连续型随机变量为例)设X的概率密度为f(x)，2.不等式的等价形式估计的概率．（1）证明大数定律；（2）估计事件的概率。例2．若在每次试验中，A发生的概率为0.5，进行1000次独立试验，估计A发生400～600次之间的概率。解：因X～B（1000，0.5），E（X）=500，D（X）=250所以P{400X600}=P{|X-500|100}e2)(1}|)({|eXDXEXP-≥-由得，P{|X-500|100}例3.设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率。解:令X表示在夜晚同时开着的灯数目，则X服从n=10000，p=0.7的二项分布，这时E(X)=np=7000,D(X)=npq=2100，由切贝雪夫不等式可得“概率”的概念是如何产生的设次独立重复试验中事件发生的随机变量频率概率“频率稳定性”的严格数学描述是什么怎样定义极限次数为则当时,有n重伯努利试验怎样理解“越来越接近”？实验序号10.700.2020.550.0560.500.0050.700.2030.650.1540.350.1570.550.05将一枚硬币抛20次，200次，2000次，各做10遍80.300.2090.450.05100.300.200.5200.0200.4550.0450.4950.0050.4950.0050.4800.0200.5400.0400.5050.0050.5050.0050.5500.0500.4900.0100.5050.00500.4950.0050.4930.0070.5060.0060.49550.00450.4940.0060.5020.0020.5010.0010.5090.0090.5000.000（伯努利大数定律）设是次独立重复试验中事件发生的次数,且则有令第次试验发生第次试验不发生则相互独立从而如何证明机变量列,且具有相同的数学期望和方差,记（切比雪夫大数定律）设为相互独立的随则有设随机变量的方差存在,则有概率论历史上的第一个大数定律，由雅可比·伯努利于1713年发表的著作《猜测术》中提出.在黑板上证明切比雪夫大数定律伯努利大数定律、切比雪夫大数定律均要求随机列变量列的方差存在,该条件可用“同分布”来代替或（辛钦大数定律）设是独立同分布r.v列,存在，则服从大数定律,即有该定理通常称为独立同分布大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.给出了“频率稳定性”的严格数学解释.切贝雪夫大数定律表明,相互独立的随机变量的算术平均值以概率1是一个无穷小量.这意味着在n充分大时，值将比较紧密地聚集在它的数学期望附近．与其数学期望的差,在n充分大时的推