夯基专题14空间位置关系的判断与证明
考向一空间线、面位置关系的判定【核心知识】
考向一空间线、面位置关系的判定
(1)位置关系分类
位置关系
异面直线
共面直线
平行直线
相交直线
文字语言
不同在任何一个平面内，没有公共点
在同一平面内，没有公共点
在同一平面内，有且仅有一个公共点
公共点
无公共点
一个公共点
无公共点
符号语言
a，b是
异面直线
a∥b
a∩b＝A
图形表示
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：0°θ≤90°.
(3)特殊位置关系：平行、垂直
2．空间中直线与平面的位置关系
(1)位置关系分类
位置关系
直线a在平面α内
直线a在平面α外
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
有无数公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
符号表示
a?α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
(2)直线与平面所成角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
②范围：0°≤θ≤90°.
(3)特殊位置关系：平行、垂直
空间中平面与平面的位置关系
(1)位置关系分类
位置关系
两个平面平行
两个平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点
(在一条直线上)
符号表示
α∥β
α∩β＝l
图形表示
(2)二面角的平面角
①定义：在二面角的棱上取一点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直与棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的角.
②范围：0°≤θ≤180°
(3)特殊位置关系：平行、垂直
【典例精讲】
例1.(2023·四川省成都市·联考)在棱长为a的正方体A1B1C1D1?ABCD中，E，F分别为DD1，BB
例2.(2022·浙江省杭州市·专项测试)一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：
?①三角形;?②菱形;?③矩形;?④正方形;?⑤正六边形．
则其中判断正确的个数是??????????．
【拓展提升】
练11.(2023·河北省·期中考试)一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为P2A，P1D，P4D，P4
①直线AF与直线BQ是异面直线；
②直线BE与直线MN是异面直线；
③直线BQ与直线MN共面；
④直线BE与直线AF是异面直线．
其中正确结论的个数为(????)
A.4 B.3 C.2 D.1
练12.(2022·福建省漳州市·期末考试)透明塑料制成的正方体密闭容器ABCD?A1B1C1D1的体积为64，注入体积为
A.液面始终与地面平行
B.x=32时，液面始终呈平行四边形
C.当x∈(0,8)时，有液体的部分可呈正三棱锥
D.当液面与正方体的对角线AC1垂直时，液面面积最大值为
考向二
考向二几何法证明平行、垂直
【核心知识】
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
即：“线线平行?线面平行”
性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
即：“线面平行?线线平行”
2．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
即：“线面平行?面面平行”
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
即：“面面平行?线线平行”
3.直线与平面垂直
=1\*GB2⑴定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作
l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P
=2\*GB2⑵直线与平面垂直的判定定理和性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直
即：“线线垂直?线面垂直”
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
即：“线面垂直?线线平行”
4．平面与平面垂直
=1\*GB2⑴二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，范围是0°≤θ≤180°.
若两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直.
=2\*GB2⑵平面与平面垂直的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如