有限元的发展历史和趋势
摘要
1965年，“有限元”这个名词第一次在我国出现,到今天有限元在工程上得到广泛应用,
经历了三十多年的发展历史,理论和算法都已经日趋完善。有限元法(FiniteElementMethod,
简写为FEM)是求解微分方程的一种非常有效的数值计算方法,用这种方法进行波动数值模
拟受到越来越多的重视。有限元法起源于固体力学,并逐步扩展到热传导、计算流体力学、
电磁学等不同领域,已经成为数学物理中很重要的数值计算方法。
关键词有限元数值发展趋势
前言
有限元方法在数值计算方法中具有极为重要的地位，有限元方法在应用中不仅本身具有
很大的潜力，而且，结合其它理论和方法还有广阔的发展前景。
1有限元的发展历程
有限元法的发展历程可以分为提出(1943)、发展(1944一1960)和完善(1961-二十世纪九
十年代)三个阶段。有限元法是受内外动力的综合作用而产生的。
1943年，柯朗发表的数学论文《平衡和振动问题的变分解法》和阿格瑞斯在工程学中
取得的重大突破标志着有限元法的诞生。
有限元法早期(1944一1960)发展阶段中，得出了有限元法的原始代数表达形式，开始
了对单元划分、单元类型选择的研究，并且在解的收敛性研究上取得了很大突破。1960年，
克劳夫第一次提出了“有限元法”这个名称，标志着有限元法早期发展阶段的结束。
有限元法完善阶段(1961一二十世纪九十年代)的发展有国外和国内两条线索。在国外的
发展表现为:第一，建立了严格的数学和工程学基础;第二，应用范围扩展到了结构力学以
外的领域;第三，收敛性得到了进一步研究，形成了系统的误差估计理论;第四，发展起了相
应的商业软件包。
在国内，我国数学家冯康在特定的环境中独立于西方提出了有限元法。1965年，他发
表论文《基于变分原理的差分格式》，标志着有限元法在我国的诞生。冯康的这篇文章不但
提出了有限元法，而且初步发展了有限元法。他得出了有限元法在特定条件下的表达式，独
创了“冯氏大定理”并且初步证明了有限元法解的收敛性。虽然冯康创造的有限元法不成熟，
但他能在当时的条件下独立提出有限元法已十分不易。对于他的这项成就，国内外专家学者
和国家领导人都有很高的评价。
2有限元的基本思路及解题步骤
2-1有限元法的基本思路
有限元法的基本思路是将计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一
些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点
值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散
求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展逐渐用于流体力学的数值模
拟。在有限元方法中,将计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内
选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可
以看作是由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解
构成。
2-2有限元法的解题步骤
(1)划分单元网格,并按照一定的规律对单元和结点编号。根据求解区域的形状及实际问
题的物理特点,将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方
法的前期准备工作,这部分的工作量比较大,除了对计算单元和节点进行编号并确定相互之
间的关系之外,还要表示节点的位置坐标,同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号
及相应的边界值。
(2)选定直角坐标系,按程序要求填写和输入有关信息。
(3)使用已经编好的程序进行上机计算。计算程序中对输入的各种信息进行加工、运算。
(4)对计算成果进行整理、分析,用表格或图线示出所需的位移及应力。在划分单元时,
单元的大小(即网格的疏密)要根据精度要求和计算机的速度及容量来确定。单元分得越小,
计算结果越精确。所以,有限元法的核心是网格剖分与边界条件的确定,然后是选用现代数学
进行运算求解,最后对求解结果进行分析。对于许多具体情况,可使用一些建立起来的物理模
型,从而可使问题简单化。而真正在设计中,目前多使用CAD一类的高级辅助软件进行分析、
设计,以保证设计的正确性、准确性及最优化。
3有限元的发展趋势
随着有限元技术应用的不断扩大,其发展呈现如下特点:
（1）单一场计算向多物理耦合场问题的求解发