*二、最大应力(8?19)(8?17)(8?18)而最大切应力则为：由应力圆可知，一点处的最大与最小正应力分别为最大与最小主应力，即第31页，共68页，星期日，2025年，2月5日*根据应力圆点B的位置可知，最大切应力的作用面与主应力s2作用面垂直而与s1作用面成45?，即右侧图中的abcd截面。abcdacdb第32页，共68页，星期日，2025年，2月5日*abcdacdbefgh根据切应力互等定理可知，在与截面abcd垂直的截面efgh上有数值上与tmax相等的切应力，如下面图中所示。第33页，共68页，星期日，2025年，2月5日*例题8?5图a所示应力状态，应力?x=80MPa，?x=35MPa，?y=20MPa，?z=-40MPa，试画三向应力圆，并求主应力、最大切应力。(a)xy?x?x?y?z?yz(c)?CEODA?B(b)?y?x?x第34页，共68页，星期日，2025年，2月5日*解：1.画三向应力圆对于图示应力状态，已知?z为主应力，其它两个主应力则可由?x，?x与?y确定(图b)。在???坐标平面内(图c)，由坐标(80,35)与(20,-35)分别确定A和B点，然后，以AB为直径画圆并与?轴相交于C和D，其横坐标分别为：取E(-40,0)对应于主平面z，于是，分别以ED及EC为直径画圆，即得三向应力圆。第35页，共68页，星期日，2025年，2月5日*而最大正应力与最大切应力则分别为：2.主应力与最大应力由上述分析可知，主应力为：第36页，共68页，星期日，2025年，2月5日*§8?5空间应力状态的广义胡克定律对于各向同性材料，它在各个方向上应力与应变之间的关系相同。因此，对于各向同性材料：(1)在正应力作用下，沿正应力方向及与之垂直的方向产生线应变，而在包含正应力作用面在内的三个相互垂直的平面内不会发生切应变；(2)在切应力作用下只会在切应力构成的平面内产生切应变，而在与之垂直的平面内不会产生切应变；也不会在切应力方向和与它们垂直的方向产生线应变。第37页，共68页，星期日，2025年，2月5日*一、双向应力状态的广义胡克定律σ1σ1(b)σ2σ2(c)σ1σ1σ2σ2(a)当材料处于双向应力状态(图a)时，为计算沿两个主应力方向的应变ε1和ε2，可按叠加原理将原应力状态分解为图b和图c两种单向应力状态的叠加。第38页，共68页，星期日，2025年，2月5日*(a)式中E为拉、压弹性模量。而垂直于σ1或σ2方向的线应变分别为：当材料处于图b或图c所示单向应力状态时，沿主应力σ1或σ2方向的线应变分别为：(b)式中?为泊松比。因此当材料处于图a所示双向应力状态时，沿两个主应力方向的应变ε1和ε2分别为：第39页，共68页，星期日，2025年，2月5日*σyτxτyσx图13?11(8-20)上式即双向应力状态下的广义胡克定律。而对于图13?11所示平面应力状态，广义胡克定律表达式为：(8-21)式中γxy是在xy平面内由切应力τx或τy所引起的切应变，G是切变模量。第40页，共68页，星期日，2025年，2月5日*二、空间应力状态的广义胡克定律当空间应力状态以主应力表示时，广义胡克定律为：式中，e1，e2，e3分别为沿主应力s1，s2，s3方向的线应变。第41页，共68页，星期日，2025年，2月5日*一般空间应力状态下的广义胡克定律为：第42页，共68页，星期日，2025年，2月5日*例题8?6有一边长a=200mm的立方体混凝土试块，无空隙地放在刚性凹座里(图a)。上表面受压力F＝300kN作用。已知混凝土的泊松比?＝1/6。试求凹座壁上所受的压力FN。FNxFNyFa图(a)FNx解：混凝土块在z方向受压力F作用后，将在x、y方向发生伸长。但由于x、y方向受到座壁的阻碍，两个方向的变形为零，即上式即为变形条件。另外，根据对称性可知，试块在x、y方向所受到的座壁反力FNx和FNy应相等，即第43页，共68页，星期日，2025年，2月5日*FNxFNyFNy图(b)FNx由三向应力的胡克定律，有：由上式可解出：由于试块较小，可近似认为应力分布均匀，则第44页，共68页，星期日，2025年，2月5日*将有关数据代入，可得第45页，共68页，星期