二十、创新题
1.（2012年西城二模理8）对数列，如果及，使
成立，其中，则称为阶递归数列．给出
下列三个结论：
若是等比数列，则为阶递归数列；
若是等差数列，则为阶递归数列；
若数列的通项公式为，则为阶递归数列．
其中，正确结论的个数是（D）
A．B.C.D.
2.（2012年昌平二模理8）设等差数列的前项和为，已知
，，则下列结论正确的是（A）
A．，B．，
C．，D．，
3.（2012年东城二模理8）定义：，已知数列满足：
，若对任意正整数，都有成立，则的值为（C）
A．B.C.D.
4.（2012年东城二模理14）已知点与点在直线的两侧，给出下列说法：
①；②当时,有最小值，无最大值；③；④当且，
时，的取值范围为.其中，所有正确说法的序号是.
答案：③④。
5.（2012年海淀二模理8）点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点.给出三个命题：①；②的周长有最小值；③曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（C）
A．１B.２C.３D.０
6.（2012年海淀二模理14）曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离之和为3的动点的轨迹.则曲线与轴交点的坐标是；又已知点（为常数），那么的最小值=.
答案：；
7.（2012年丰台二模理8）已知平面上四个点，，，
．设是四边形及其内部的点构成的点的集合，点是四边形对角线的
交点，若集合，则集合S所表示的平面区域的面积为
（B）
A．2B．4C．8D．16
8.（2012年丰台二模理14）在平面直角坐标系中，若点，同时满足：①点，都
在函数图象上；②点，关于原点对称，则称点对(,)是函数的
一个“姐妹点对”（规定点对(,)与点对(,)是同一个“姐妹点对”）．那么函数
的“姐妹点对”的个数为_______；当函数有
“姐妹点对”时，的取值范围是______．
答案：1，。
9.（2012年昌平二模理14）若对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的，且存在常数(R)使得f(x+)+f(x)=0对任意实数x都成立，则称f(x)是一个“—伴随函数”.有下列关于“—伴随函数”的结论：①f(x)=0是常数函数中唯一个“—伴随函数”；②f(x)=x不是“—伴随函数”；③f(x)=x2是一个“—伴随函数”；④“—伴随函数”至少有一个零点.其中不正确的序号是________________（填上所有不正确的结论序号）．
答案：①③。
10.（2012年西城二模理14）曲线是平面内到定点和定直线的距离之和
等于的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线关于轴对称；
②若点在曲线上，则；
③若点在曲线上，则.
其中，所有正确结论的序号是____________．
答案：①②③．
11.（2012年西城二模理20）若或，则称为和的一个位排列．对于，将排列记为；将排列记为；依此类推，直至．对于排列和，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做和的相关值，记作．例如，则，．若，则称为最佳排列．（Ⅰ）写出所有的最佳排列；（Ⅱ）证明：不存在最佳排列；（Ⅲ）若某个是正整数为最佳排列，求排列中的个数．
解：（Ⅰ）最佳排列为，，，，，．…………3分
（Ⅱ）证明：设，则，
因为，
所以，，，，之中有个，个．
按的顺序研究数码变化，由上述分析可知有次数码不发生改变，有次数码发生了改变．
但是经过奇数次数码改变不能回到自身，
所以不存在，使得，
从而不存在最佳排列．……7分
（Ⅲ）由或，得
，
，
……
，
．
因为，
所以与每个有个对应位置数码相同，有个对应位置数码不
同，因此有
，
，
……，
，
．
以上各式求和得，．……10分
另一方面，还可以这样求和：设中有个，个，则．
……11分
所以解得或
所以排列中的个数是或．…………13分
12.（2012年朝阳二模理20）已知数列满足，且当时，，令．（Ⅰ）写出的所有可能的值；（Ⅱ）求的最大值；（Ⅲ）是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在