低维非线性系统的稳定性分析
摘要
随着生产和技术的发展，对控制系统的性能和精度的要求越来越高，建立在线性化
基础上的分析和设计方法已经无法解决较为复杂的控制问题，因此，非线性系统的性能
和控制问题的研究成为了一个非常重要的课题。本文基于Lyapunov函数等理论，对非
线性系统的稳定性和控制问题进行了研究，得到下述三个创新性结论：
首先，对一般的非线性函数在原点进行泰勒展开，研究低次项对其定号性的影响，
得到了通过非线性函数的低次项系数来判断函数正定、负定以及不定号的充分条件，并
且通过变换以及数学归纳法将结论推广到了一般，对一类非线性函数进行研究，得到了
判断其定号性的充分条件。
其次，在非线性函数定号性研究的基础上，对非线性系统在平衡点处（渐近）稳定
的问题进行了研究，得到了通过系统的系数来判断系统在平衡点处（渐近）稳定以及不
稳定的充分条件，并且给出了相应Lyapunov函数的求解方法。
最后，对于在平衡点处不稳定的系统，结合前两部分，研究了如何设计控制器使其
稳定，得到了存在控制器使系统在平衡点处渐近稳定的充分条件，给出了控制器的求解
方法，并且得到了系统不存在控制器使其稳定的充分条件。
关键词：定号性；非线性系统；稳定性；控制器
低维非线性系统的稳定性分析
ABSTRACT
Withthedevelopmentofproductionandtechnology,therequirementsforthe
performanceandaccuracyofcontrolsystemsarebecomingincreasinglyhigh.Theanalysis
anddesignmethodbasedonlinearizationhasbeenunabletosolvethemorecomplexcontrol
problems.Therefore,thestudyoftheperformanceandcontrolproblemsofnonlinearsystems
hasbecomeaveryimportanttopic.BasedonLyapunovfunctionandothertheories,thispaper
studiesthestabilityandcontrolproblemsofnonlinearsystems,anddrawsthefollowingthree
innovativeconclusions:
Firstly,Taylorexpansioniscarriedoutontheoriginofageneralnonlinearfunctionto
studytheinfluenceoflowerordertermsonitssignality,andsufficientconditionsareobtained
tojudgethepositivedefinite,negativedefiniteandindefinitesignofanonlinearfunctionby
thecoefficientoflowerorderterms.Moreover,theconclusionisextendedtothegeneral
throughtransformationandmathematicalinduction.Thesufficientconditionsforjudgingthe
signalityareobtained.
Secondly,onthebasisofthestudyofthesignalityofnonlinearfunction,theproblemof
thestabilityofnonlinear