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模型21拉格朗日点、黑洞、潮汐、张角及星球瓦解点问题
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01模型概述
01模型概述
1．拉格朗日点：拉格朗日点指在两大物体引力作用下，能使小物体稳定的点.
①日地间的拉格朗日点：
②地月间的拉格朗日点
2．黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞。
3．潮汐
潮汐：海面在外力作用下产生的周期性的升降现象。
白天的海面上升为潮，晚上的海面上升为汐。
3.星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即，得。当时，星球瓦解，当时，星球稳定运行。
02典题攻破
02典题攻破
1.拉格朗日点相关问题
【典型题1】（2024·宁夏银川·模拟预测）2023年10月9日，先进天基太阳天文台，即“夸父一号”科学卫星迎来一周岁生日。“夸父一号”已平稳在轨运行365天。已知“夸父一号”位于日地连线、距地球约150万公里的日地系统的拉格朗日点，在该点几乎不消耗燃料就可以和地球一起以相同角速度绕太阳做匀速圆周运动，如图所示。关于“夸父一号”和地球一起运行过程中，下列说法正确的是（）
A．“夸父一号”受力平衡
B．“夸父一号”绕太阳运行的周期是24小时
C．“夸父一号”绕太阳运行的加速度小于地球绕太阳运行的加速度
D．“夸父一号”绕太阳做圆周运动的向心力仅由太阳的引力提供
【答案】C
【详解】A．“夸父一号”做匀速圆周运动，受力不平衡，故A错误；
B．“夸父一号”绕太阳运行的周期等于地球的公转周期，不是24小时，故B错误；
C．“夸父一号”绕太阳运行的角速度等于地球绕太阳运行的角速度，根据
由于“夸父一号”的轨道半径小于地球的轨道半径，则“夸父一号”绕太阳运行的加速度小于地球绕太阳运行的加速度，故C正确；
D．“夸父一号”绕太阳做圆周运动的向心力由太阳引力和地球引力的合力提供，故D错误。
故选C。
2.黑洞问题
【典型题2】（2024·安徽安庆·二模）史瓦西半径是任何具有质量的物质都存在的一个临界半径特征值。该值的含义是：如果特定质量的物质被压缩到此临界半径时，该物质就被压缩成一个黑洞，即此时它的逃逸速度等于光速。已知某星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍，该星球半径，表面重力加速度g取，不考虑星球的自转，则该星球的史瓦西半径约为（）
A．9纳米 B．9毫米 C．9厘米 D．9米
【答案】B
【详解】地球表面附近有
临界状态光速恰好等于其逃逸速度，可得第一宇宙速度可表示为
根据万有引力提供向心力可得
联立解得
故选B。
3.潮汐问题
【典型题3】（2021·北京西城·一模）地球刚诞生时自转周期约是8小时，因为受到月球潮汐的影响，自转在持续减速，现在地球自转周期是24小时。与此同时，在数年、数十年的时间内，由于地球板块的运动、地壳的收缩、海洋、大气等一些复杂因素以及人类活动的影响，地球的自转周期会发生毫秒级别的微小波动。科学研究指出，若不考虑月球的影响，在地球的总质量不变的情况下，地球上的所有物质满足m1ωr12+m2ωr22+….+miωri2=常量，其中m1、m2、……mi表示地球各部分的质量，r1、r2、……ri为地球各部分到地轴的距离，ω为地球自转的角速度，如图所示。根据以上信息，结合所学，判断下列说法正确的是（）
A．月球潮汐的影响使地球自转的角速度变大
B．若地球自转变慢，地球赤道处的重力加速度会变小
C．若仅考虑A处的冰川融化，质心下降，会使地球自转周期变小
D．若仅考虑B处板块向赤道漂移，会使地球自转周期变小
【答案】C
【详解】A．地球自转周期与角速度的关系为
由题意知T变大，则自转的角速度变小，选项A错误；
B．在赤道处万有引力提供向心力和重力有
若地球自转变慢，即角速度变小，则重力加速度会变大，选项B错误；
C．由m1ωr12+m2ωr22+….+miωri2=常量知，质心下降，会使变大，T变小，选项C正确；
D．若B处板块向赤道漂移，相当于地球一部分半径变大，角速度变小，则周期变大，选项D错误。
故选C。
4.星球瓦解问题
【典型题4】（2019·四川遂宁·模拟预测）假设某宇航员在地球上可以举起m1=50kg的物体，他在某星球表面上可以举起m2=100kg的物体，若该星球半径为地球半径的4倍，则（）
A．地球和该星球质量之比为
B．地球和该星球第一宇宙速度之比