经典奥数系列——循环小数与周期问题
4种类型讲、练、测
本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！
三大板块：
经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。
巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。
综合测试——提升综合能力，累积考试经验。
朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！
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小数分为有限小数和无限小数,无限小数包括循环小数和不循环小数。小数部分有规律地重复出现一个或多个数字的小数,叫循环小数。循环小数又分为纯循环小数和混循环小数,它们共同的特点是在小数部分有一个或多个数字重复出现，并呈现出周期性。
求循环小数数位上的数字、循环小数的数字和以及循环节的确定等问题时,常结合解周期问题的方法。解题的一般过程是:
(1)首先判断题目中的循环小数是纯循环小数还是混循环小数；
(2)然后把所有数位上的数字看成一个数列,找到数字排列的规律,确定重复出现的数字有几个，周期是多少；
(3)最后结合解周期问题的方法解决具体问题。
【求数字】
5÷7的商的小数点后面第100个数字是几?
【分析】
（1）先算出除法算式的结果,然后转化为周期问题,通过余数求出答案。
（2）5÷7=0.1428，商是循环小数,循环节有6位,所以循环周期是6,100÷6=16（组）……4（位）,循环节重复出现了16组,余数是4,则第100位是循环节中的第4个数字2。
【解答】
5÷7=0.1428（每6个数字循环一次）
100÷6=16（组）……4（位）（周期的第4个数字）
即小数点后面第100位数字是2
答:小数点后面第100位数是2。
【总结】
循环小数的小数部分可以看成是一个数列的周期问题,首先找出周期再通过余数求出答案。
1.把3÷7化成小数,小数点后第100位是几?
2.计算4÷7的结果,其中小数点后第200位上的数字是几?
3.把2÷7化成小数后,并将结果用“四舍五人法”精确到小数后第100位,这第100位上的数字是几?
【求数字和】
1÷7的商的小数点后100位的数字和是多少?
【分析】
（1）此题考查了算术中的规律，找出一个循环的数字，灵活应用有余数的除法，数一数，就可得解。
（2）1÷7=0.4285，小数点后面的数字的规律是1、4、2、8、5、7六个数的不断循环，要求小数点后面第100个数字是几，用100除以6，得到商和余数，余数是几，就从一个循环中数到几便得解；小数点后面100个数位上的数，它们的和是用刚才的商乘一个循环的数字和，再加上余数是几，就数出的几个数字的和。
【解答】
1÷7=0.4285
100÷6=16…4
(1+4+2+8+5+7)×16+(1+4+2+8)
=27×16+14
=432+14
=446
答：1÷7小数点后100位的数字总和是446。
【总结】
求循环小数的数字和时,先确定周期，求出一个周期的数字和,再计算有多少个这样的周期，然后用一个周期的数字和乘周期的个数，有余数的话还要加上余下几个数字的和。
1.61÷495的商的小数点后面100个数字的和是多少?
2.16÷37的商用循环小数表示后,小数点后1995个数字之和是多少?
3.1÷7-0.142857142857……如果从小数位的第一位数字开始数到某一位小数时,这位小数前的所有数字之和是493,这一位小数是第几位小数,这个数是几?
【循环小数与公倍数】
循环小数0.2135721357……和0.987987987……在小数点后第几位时,在该位上的数字第一次同时是7?
【分析】
求第一次同时出现某数时,可先找出所求数字分别出现在什么数的倍数位上,然后求最小公倍数。
【解答】
0.2135721357……是5位循环一次,7出现在第5,10,15,20,25……的数位上；0.987987987……是3位循环一次,7出现在第3,6,9,12,15,18……的数位上观察发现,在第15位时第一次同时是7。
答:这两个小数在小数点后第15位上第一次同时是7。
【总结】
(1)求几个纯循环小数小数部分周期的最后一个数字同时出现在某个数位,就是求这几个周期的最小公倍数；
(2)求纯循环小数小数部分非周期的最后一个数字在什么数位,可以根据周期的最后一个数字的位置少几求得；求多个这样的数字同时出现在什么数位时,可以通过列举法求得。
1.循环小数0.543543……与0…在第几位时第一次同时出现数字3?
2.1÷7和5÷9的结果的小数部分在第几位时第5次同时出现数字5?