小升初经典奥数——圆柱与圆锥问题
12种类型讲练测
本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！
三大板块：
经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。
巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。
综合测试——提升综合能力，累积考试经验。
朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！
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一、在圆柱和圆锥中,若圆柱体底面半径为r,高为h,则表面积=侧面积+2个底面积=2nrh+2nr2,V圆柱=πr2h;若圆锥底面半径为r,高h,则V圆锥=34πr2；若圆柱与圆锥等底等高,则国柱体积是圆锥的3倍,圆锥体积是圆柱的1
解题时除了灵活运用公式外,还要掌握一些特殊的思路和解题技巧,如代换法、设数法等。
二、计算圆柱或圆锥变形后(如:切、拼、挖)的表面积或体积时,要弄清表面积或体积的增减变化情况,既不能重复,也不能遗漏；当物体浸没在规则容器的水中,水面上升部分的体积等于物体的体积。
除了掌握以上基本知识外,还要掌握一些特殊的技巧和方法,如转化法、拼补法等。
【底面积、高与体积关系】
一个圆柱和一个圆锥,底面半径是2:3,体积比为8:9。它们的高的比是多少?
【思维点拨】根据半径比是2:3,求得面积比是4:9，再求出圆柱和圆锥的高。
【详解】运用复比方法求解。
圆柱与圆锥的底面半径之比为2:3，得到底面积之比为22：32=4:9
体积之比为8:9
所以高之比为（8÷4）：（9÷9×3）=2:3
1.一个圆柱和一个圆锥,底面周长比是1:2,体积比为5:6,圆柱高为20厘米。圆锥高为多少厘米?
2.两个相同的圆锥容器中各盛一些水,水深都是圆锥高的一半,则甲容器中的水是乙
容器中的水的几倍?
【底面积、高、体积关系实际应用】
圆柱和圆锥高相等,圆锥底面半径为9厘米,圆柱底面半径为6厘米,现在圆锥容器中装满水倒入圆桂体容器内,这时水深比容器高度的67低3厘米,两个容器的高是多少厘米
【思维点拨】关键是弄清楚当圆锥内全部的水倒入圆柱后水的高度占圆柱高的几分之几,然后找到相差3厘米的对应分率。
【详解】
圆锥和圆柱底面半径比为9:6=3:2,则底面积比为9:4
高之比为1:1
则圆锥和圆柱的体积比为:（9×1÷3）：（4×1）=3:4
当圆锥内的全部水倒入圆柱时,水深占圆柱高的3
3÷（67-34）
1.圆柱和圆锥体积和为230立方厘米,圆柱底面周长是圆锥的13,圆柱高是圆锥的56。分别求圆柱和圆锥体积。
2.底面直径是20厘米的圆柱形容器中装有一些水,将一个高10厘米,底面半径12厘米的圆锥形铁锤浸没在水中,当铁锤从水中取出后,容器中的水下降了几厘米?(设水足够深且不会溢出)
【倒置法求不规则圆柱体体积】
有A、B两个圆柱体容器,原来A容器中装有2000毫升水,B容器是空的,现在以每分钟400毫升的流量往两个容器里注人水,4分钟后两个容器的水面高相等,知B的底面半径为2厘米,求A的底面直径。
【思维点拨】依题意可求出4分钟后两个容器中水的体积比,此时水面高相等,用设数法求出两容器的底面面积比,然后再求出底面直径比。
4分钟后注入的水量为4×400=1600（毫升）
此时A、B两个容器的高度之比为1:1
体积之比为（2000+1600）：1600=9：4
底面积之比为（9÷1）：（4÷1）=9:4=32:22
底面直径之比为3:2
A容器的直径为2×2÷2×3=6（厘米）
1.有一饮料容器如图所示,容积是30立方分米。现在,它里面装有些饮料,正放时饮料高度为20cm,倒放时空余部分的高度为5cm。问:容器内现有饮料多少立方分米?
2.如图,一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水。请根据图中瓶子正放和倒放时的数据推知瓶子的容积。(π取3.14)（单位：cm）
【旋转后的几何体体积】
一个直角三角形边的长度是3、4、5,如果分别以各边为轴旋转一周,得到三个立体。三个立体中最大体积和最小体积比。
【思维点拨】分别画出旋转后的图形，再求出三个图形的体积之后再比较。
【详解】如下图所示：
（1）图1中圆锥体的体积为13×π×42×3=16π
（2）图2中圆锥体的体积为13×π×32×4=12
（3）半径为3×4÷5=2.4
图3中圆锥体的体积为13×π×2.42×5=9.6π
所以三个立体图形中最大体积与最小体积之比为16π：9.6π=5:3
1.如图1,ABCD是直角梯形。(单位:厘米)
(1)以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周,得到一个旋转体,它的体积是多少?
(2)如果以CD为轴,并将梯形绕这个轴旋转