小升初经典奥数——正方形与长方形问题
9种类型讲练测
本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！
三大板块：
经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。
巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。
综合测试——提升综合能力，累积考试经验。
朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！
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求规则图形面积时，可以直接使用面积公式；而求不规则图形或组合图形面积时，则可以使用添加辅助线和使用分割、平移、割补、和差、比例、分解、方程等方法进行转化或求解。
长方形和正方形基本公式：
长方形周长=（长+宽）×2长方形面积=长×宽
正方形周长=边长×4正方形面积=边长×边长
【分割法求面积】如图多边形的每条边都垂直于它的邻边，且所有的边长都相等,周长是108cm,这个图形的面积是多少平方厘米?
【思维点拨】可以先使用平移法求出每一小格的长度，然后使用分割法把图形分割为若干个小方格，求出一个小方格的面积，在乘以方格个数即可。
【解答】分割如图所示：
把图形分割为1+3+5+7+9+7+5+3+1=41个小方格，每个小方格的边长为：
108÷4÷9=3（厘米）
每个小方格面积：3×3=9（平方厘米）
总面积：9×41=369（平方厘米）
1.正方形ABCD中，E、F、G、H分别为正方形四条边的三等分点。已知正方形EFGH的面积是10平方米，那么正方形ABCD的面积是多少？
2.用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形,长方形纸片面积分别44cm2与28cm2,原正方形纸片面积是多少平方厘米?
【和差法求面积】两个同样的矩形摆放如左下图,图中单位为cm,每个矩形的面积是多少?
【思维点拨】因为两个长方形相同，从图中观察得出长方形的长、宽之和为10厘米，长、宽之差为2厘米；使用和差公式求出每个长方形的长、宽即可。长=（和+差）÷2，宽=（和-差）÷2
【解答】
长方形的长为：（10+2）÷2=6（厘米）
长方形的宽为：（10-2）÷2=4（厘米）
矩形面积为：6×4=24（平方厘米）
1.用四个一样的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形(如图所示),大、小正方形的面积分别为64cm2和9cm2。问:长方形的宽和长各是多少?
2.两个正方形的面积相差9cm2,边长相差1cm。求两个正方形的面积和。
【割补法求面积】一块长方形纸片,在长边剪去5cm,宽边剪去2cm后，得到的正方形面积比原长方形面积少31cm2。求原长方形纸片的面积。
【思维点拨】因为减去后的图形为正方形，所以可以把减去的不规则图形进行分割成三块，其中一块面积为5×2=10平方厘米，另外两块面积和为31-10=21平方厘米，把这两块拼接为一个长为5+2=7厘米的长方形，利用长方形面积公式求出长方形的宽（即小正方形的边长）
【解答】割补方法如下：
（31-5×2）÷（5+2）=3（厘米）
长方形长为5+3=8（厘米）
长方形宽为2+3=5（厘米）
长方形面积为8×5=40（平方厘米）
1.一块正方形的玻璃,长截去2厘米,宽截去3厘米后,剩下的小长方形比原来少29平方厘米,这块正方形玻璃原来的面积是多大?
2.长方形ABCD的周长是20m，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形(如下图)。已知这四个正方形的面积和是104m2,求长方形ABCD的面积。
【比例法求面积】如图的长方形被分割成5个正方形，已知每个大正方形比每个小正方形面积大5cm2,求原长方形的面积。
【思维点拨】根据图中观察不难发现：答长方形的长相当于大正方形边长的2倍，又相当于小正方形边长的3倍，所以大小正方形的边长之比为3:2（转化为面积之比），大小正方形的面积差为5平方厘米，运用面积差比方法求解大小正方形的面积即可。
【解答】
大小正方形边长之比为3:2，所以大小正方形面积之比为32:22=9:4
大小正方形的面积之差为5平方厘米
大正方形面积为5÷（9-4）×9=9（平方厘米）
小正方形面积为5÷（9-4）×4=4（平方厘米）
长方形面积为9×2+4×3=30（平方厘米）
1.如图由两个相同的正方形和三个相同的长方形组成，它的周长为104cm，其中一个长方形ABCD的宽是长的23。
2.如图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为120cm2,求原长方形的长与宽。
【方程法求面积】如图的长方形被分割成6个正方形，已知中央小正方形的面积为1cm2。求原长方形的面积。
【思维点拨】如下图所示，因为