第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直（第一课时）

1、理解直线与平面垂直的定义；2、掌握直线与平面垂直的判定定理，并能运用定理进行简单的证明；3、理解线面角的概念，能求简单的线面角的大小；4、通过学习本节内容，提升直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.重点：直线与平面垂直的定义；直线与平面垂直的判定定理，线面角的概念难点：直线与平面垂直的判定；求线面角的大小

1.异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′，b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．如果两条异面直线所成的角为直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b.

空间中直线与平面有几种位置关系？???aaaa??a∥?a∩?＝AA

观察在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与底面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系，都给我们直观的认识到直线与平面垂直.探究一：直线和平面垂直

ABαab观察如图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？直线AB与其影子BC所在直线始终保持垂直实际上，直线AB与地面任意一条直线都是垂直的。

1.直线与平面垂直的定义一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.lPα画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.符号语言：若l⊥α，a?α，则l⊥a.a性质：平面α的垂线垂直平面α内的任意直线.说明：由线面垂直的定义得：即：线面垂直线线垂直

思考1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条??结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

2、点到平面的距离过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.Plα棱锥的高=棱锥的顶点到底面的距离O

若用直线与平面垂直的定义进行判定，则无法验证直线与平面内的所有直线垂直.那么，有没有可行的办法？探究准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).观察：(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？3.直线与平面垂直的判定不一定折痕AD为BC边上的高.垂直关系不变AD?BD,AD?CD

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.符号表示：思考2：定理中的两条相交直线能否改成平行直线，如果改成“无数条直线”呢？不能线线垂直线面垂直

例1求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.已知：如图，a//b，a⊥α，求证：b⊥α.证明：如图，在平面α内取两条相交直线m，n.∵a⊥α，∴a⊥m，a⊥n.又∵a//b，∴b⊥m，b⊥n.又m?α，n?α，且m,n是两条相交直线.∴b⊥α.结论：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(证明线面垂直的另一方法)

证明线面垂直的方法总结：①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．

在正方体ABCD-A′B′C′D′中∵DD′⊥正方形ABCD，DD′⊥AC证明：连接BDABDCA′B′C′D′∵AC、BD为对角线∴AC⊥BD∵DD′∩BD=D∴AC⊥平面D′DB且BD′?面D′DB∴AC⊥BD′思考：求证BD′⊥平面B′AC例2.已知正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC异面的体对角线.求证：AC⊥BD′

教材152页证明：BDCSA追问：判断直线AC与SB的位置关系．

教材152页解：连接AC,BD,当AC⊥BD时,A′C⊥B′D′.理由如下：3.如图，在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，A′C⊥B′D′？∵在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，AA′⊥底面ABCD.BD?底面ABCD，∴AA′⊥BD.若AC⊥BD，而AA′∩AC=A.则BD⊥平面AA′C，而A′C?平