第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直

空间中两条直线的位置关系平行直线共面直线异面直线相交直线不同在任何一个平面内，没有公共点．在同一平面内，没有公共点．在同一平面内，有且只有一个公共点．复习回顾

问题1如图,在正方体ABCD-ABCD中，直线AC与直线AB，直线AD与直线AB都是异面直线，直线AC与AD相对于直线AB的位置相同吗?如果不同，如何表示这种差异呢?一条直线相对于另一条直线的倾斜程度不同用角度来表示这种差异课堂探究

问题2平面中,两条相交直线所成角的定义是什么？两直线夹角的取值范围是多少？平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度．图中的角θ即为直线a与直线b的夹角．范围：规定：如果两条直线平行或重合，它们的夹角为0.追问空间中两条直线所成角又该如何定义？它的范围又是多少？课堂探究

如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线a′，b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．追问直线a、b所成角的大小与点O的位置有关吗？为什么？异面直线所成的角角度是刻画方向差异的量，平移不改变方向等角定理空间平面平移异面直线相交直线课堂探究

如果两条异面直线所成的角为直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b.规定如果两条直线平行或重合，它们的夹角为0.两条异面直线所成的角θ的取值范围：_______________．空间两条直线所成的角θ的取值范围：_______________．课堂探究

1.判断正误.(1)如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直.()(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.()√×牛刀小试2.（多选）下列说法正确的有（）A．异面直线a与b所成角可以是0°.B．若a⊥c，b⊥c，则a∥b.C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等.D．若a，b与c所成的角相等，则a∥b.E．若a∥b，a⊥c，则b⊥c.CE

例1如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？(2)求直线BA′与CC′所成角的大小.(3)求直线BA′与AC所成角的大小.下底面有：AB，AD，BC，CD，(1)上底面有：A′B′，A′D′，B′C′，C′D′，解：(2)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,∵CC′∥BB′,∴∠B′BA为直线BA′与CC′所成的角，而∠B′BA=45°，∴直线BA′与CC′所成角的大小为45°.典例精研

例1如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？(2)求直线BA′与CC′所成角的大小.(3)求直线BA′与AC所成角的大小.(3)连接A′C′,BC′，易知CC′∥AA′且CC′=AA′∴四边形CC′A′A是平行四边形，故A′C′∥AC∴∠BA′C′为直线BA′与AC所成的角.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，△A′BC′是等边三角形，∴∠BA′C′=60°，∴直线BA′与AC所成的角等于60°.典例精研

BDCABCDA变式1如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB＝AD＝，AA＝2，求:(1)直线BC和AC所成的角的大小；(2)直线AA和BC所成的角的大小.解：(1)在长方体ABCD-A′B′C′D′中,∵BC∥B′C′,∴∠B′C′A′为直线BC与A′C′所成的角.在Rt△A′B′C′中，A′B′=B′C′，∴∠B′C′A′=45°.∴直线BC与A′C′所成的角的大小为45°.变式训练

BDCABCDA变式1如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB＝AD＝，AA＝2，求:(1)直线BC和AC所成的角的大小；(2)直线AA和BC所成的角的大小.?变式训练

总结提升求两条异面直线所成的角的一般步骤1作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），作出（常用平移法)异面直线所成的角(