-----利用向量解决空间的角问题;;引入;1.两条异面直线所成的角
(1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a1∥a,b1∥b,则a1,b1所夹的锐角或直角叫a与b所成的角.
(2)范围:
;;l1;注意:;例1.如图,在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中,M,N分别为BC,AD的中点,求直线AM和CN夹角的余弦值.;如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面
ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝120°，F为CD的中
点，PB＝2，以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系．
解：因为底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC＝120°，F为CD的中点，;(2)求异面直线PD，BF所成角θ的余弦值．;练习．如图，在空间直角坐标系中有正方体
ABCD-A′B′C′D′，点E是A′D′的中点，求直线A′B
与直线CE所成角的余弦值．;以上我们用向量解决了异面直线所成角的问题,你能用向量方法求直线与平面所成的角吗？;2.直线与平面所成的角
(1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角.
(2)范围:;;如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2，∠ABC＝60°，M是AB的中点．求直线BE与平面EAC所成角的正弦值．
解：连接MC，因为EA＝EB，M是AB的中点，所以EM⊥AB，
因为平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，EM?平面ABE，
所以EM⊥平面ABCD，又CM?平面ABCD，
所以EM⊥CM，
菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
所以△ABC是正三角形，
所以MC⊥AB．所以ME，MC，MB两两垂直．
所以以点M为坐标原点，MB，MC，ME所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，;设m＝(x，y，z)是平面ACE的一个法向量，;变式探究(变条件、变结论)若点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45°，求出的值．
解：由题意可知，平面ABE的一个法向量为n＝(0，1，0)，;求直线与平面所成角的思路与步骤
1．思路一：找直线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)；
思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量．
2．利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤
第一步(建系)：建立空间直角坐标系；
第二步(求方向向量)：求直线的方向向量；
第三步(???法向量)：求平面的法向量n；
第四步(计算)：设线面角为θ，则sinθ＝.;练习2．如图所示的几何体中，底面ABCD是平行四边形，
AB＝AC＝，BC＝2，四边形ACEF为矩形，平面ACEF⊥
平面ABCD，AF＝1，点M是线段EF的中点．
(1)求证：AB⊥平面ACEF；
证明：由四边形ACEF是矩形，得AF⊥AC，而平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，AF?平面ACEF，
则AF⊥平面ABCD，
又AB?平面ABCD，于是AB⊥AF，
由AB＝AC＝，BC＝2，得AB2＋AC2＝BC2，
则AB⊥AC，
而AC∩AF＝A，AC，AF?平面ACEF，
所以AB⊥平面ACEF.;(2)求直线ED与平面BFM所成角的正弦值．
解：由(1)知，直线AB，AC，AF两两垂直，
以点A为坐标原点，直线AB，AC，AF分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，;以上我们用向量解决了异面直线所成角的问题和直线与平面所成角问题,你能用向量方法求平面与平面所成的角吗？;3.二面角;;x;x;x;x;x;x;x;练习．如图所示，正四棱锥S-ABCD，SA＝SB＝SC＝SD＝2，AB＝2，P为侧棱SD上的点，且SP＝3PD．求二面角P-AC-B的大小．
解：连接BD，设AC交BD于O，在正方形ABCD中，有AC⊥BD，
连接SO，因为SA＝SC，SB＝SD，点O是AC，BD的中点，
所以SO⊥AC，SO⊥BD，AC∩BD＝O，AC，BD?平面
ABCD，所以SO⊥平面ABCD；;因为SO⊥平面ABCD，易知平面ABC的法向量为m＝(0，0，1)，
设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，;(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.
(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法