江苏省南京市励志高级中学2025-2025学年高二下学期开学考试数学试题
考试时间：120分钟?总分：100分?年级/班级：高二〔X〕班
一、选择题〔每题5分，共30分〕
要求：本大题共6小题，每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1.知晓函数f(x)=3x2-4x+5，那么函数f(x)的图像开口方向是〔〕。
A.向上开口
B.向下开口
C.水平开口
D.无特定方向
2.假设等差数列{an}的首项a?=2，公差d=3，那么第10项a??的值为〔〕。
A.27
B.28
C.29
D.30
3.知晓函数g(x)=x2-4x+4，那么函数g(x)的图像顶点坐标是〔〕。
A.(2,0)
B.(1,-3)
C.(0,4)
D.(-2,0)
4.假设复数z=1+2i，那么复数z的模是〔〕。
A.√5
B.1
C.2
D.0
5.知晓三角形ABC的三个内角A、B、C的大小分别为60°、70°、50°，那么三角形ABC的面积是〔〕。
A.√3
B.2√3
C.3√3
D.4√3
6.知晓函数h(x)=ln(x)在区间(0,+∞)上单调递增，那么以下结论错误的选项是〔〕。
A.函数h(x)在x=1时取得极小值
B.函数h(x)在x=e时取得最大值
C.函数h(x)的图像过点(1,0)
D.函数h(x)的图像在y轴上无切线
二、填空题〔每题5分，共20分〕
要求：本大题共4小题，把答案填写在横线上。
1.知晓等差数列{an}的首项a?=1，公差d=2，那么第10项a??的值为______。
2.复数z=3-4i的共轭复数是______。
3.三角形ABC中，角A、B、C的大小分别为30°、75°、75°，那么三角形ABC的面积是______。
4.函数f(x)=x3-3x2+2x在x=1处的导数是______。
三、解答题〔每题10分，共20分〕
要求：本大题共2小题，解答以下各题。
7.知晓数列{an}是等比数列，且a?=2，a?=16，求该数列的通项公式和前10项的和S??。
8.知晓函数f(x)=x?-8x3+18x2-24x+9，求函数f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。
四、应用题〔每题15分，共30分〕
要求：本大题共2小题，解答以下各题。
9.一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，从甲地出发前往乙地。汽车行驶了2小时后，由于道路施工，速度减慢至每小时40公里。假设从甲地到乙地的距离为120公里，求汽车从甲地到乙地所需的总时间。
10.一批产品经过检测，合格率为90%。从这批产品中随机抽取10件进行检查，求以下概率：
〔1〕抽取的10件产品中至少有1件不合格的概率；
〔2〕抽取的10件产品中恰好有2件不合格的概率。
五、证明题〔每题10分，共20分〕
要求：本大题共2小题，证明以下各题。
11.证明：对于任意实数x，有〔x2+1〕2≥4x2。
12.证明：对于任意正整数n，有1+3+5+...+(2n-1)=n2。
六、综合题〔每题20分，共40分〕
要求：本大题共2小题，解答以下各题。
13.知晓函数f(x)=ax2+bx+c〔a≠0〕，且f(1)=3，f(2)=5，f(3)=7，求函数f(x)的解析式，并讨论函数的图像性质。
14.设向量a=(2,3)，向量b=(1,m)，假设向量a与向量b垂直，求实数m的值，并讨论向量a与向量b的夹角。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.A
解析：函数f(x)=3x2-4x+5的二次项系数为正，因此图像开口向上。
2.D
解析：等差数列的通项公式为an=a?+(n-1)d，代入a?=2，d=3，n=10，得到a??=2+(10-1)×3=2+27=29。
3.A
解析：函数g(x)=x2-4x+4可以写成(g(x)=(x-2)2，因此顶点坐标为(2,0)。
4.A
解析：复数z=1+2i的模是√(12+22)=√5。
5.D
解析：三角形ABC的面积可以用海伦公式计算，首先计算半周长s=(60+70+50)/2=80，然后使用海伦公式S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))=√(80×20×10×30)=4√3。
6.B
解析：函数h(x)=ln(x)在x=e时取得最大值，因为ln(x)在x=e时到达其自然对数的定义域内最大值。
二、填空题
1.29
解析：根据等差数列的通项公式a