北京市清华大学附属中学2025-2025学年高三上学期期末复习二数学试题
考试时间：120分钟?总分：150分?年级/班级：高三〔1〕班
一、选择题〔每题5分，共20分〕
要求：在以下各题的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请将其选出。
1.知晓函数$f(x)=\sinx+\cosx$，那么$f(x)$的最小正周期为：
A.$2\pi$B.$\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{\pi}{4}$
2.设$A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}23\\45\end{bmatrix}$，那么$A+B$的行列式值为：
A.10B.15C.20D.25
3.在直角坐标系中，点$P(2,3)$关于直线$x+y=1$的对称点为：
A.$(-3,-2)$B.$(-2,-3)$C.$(-1,-4)$D.$(-4,-1)$
4.知晓数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，那么数列$\{a_n\}$的通项公式为：
A.$a_n=2^n-1$B.$a_n=2^n+1$C.$a_n=2^{n-1}-1$D.$a_n=2^{n-1}+1$
5.知晓等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，假设$a_1+a_2+a_3=12$，$a_5+a_6+a_7=36$，那么$a_1$的值为：
A.3B.4C.5D.6
6.知晓函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，假设$f(x)=0$，那么$f(x)$的极值点为：
A.$x=1$B.$x=2$C.$x=3$D.$x=4$
二、填空题〔每题5分，共20分〕
要求：将正确答案填入以下各题的横线上。
1.函数$f(x)=\sinx-\cosx$的最小正周期为________。
2.设$a,b$为实数，假设$\sqrt{a^2+b^2}=1$，那么$|a+b|$的最大值为________。
3.知晓等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，假设$a_1+a_2+a_3=12$，那么$a_4+a_5+a_6=________$。
4.知晓函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，假设$f(x)=0$，那么$f(x)$的极小值为________。
5.在直角坐标系中，点$P(2,3)$关于直线$x+y=1$的对称点为________。
6.设$a,b$为实数，假设$\sqrt{a^2+b^2}=1$，那么$|a+b|$的最小值为________。
三、解答题〔每题10分，共30分〕
要求：解答以下各题，写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤。
1.知晓函数$f(x)=2\sinx-\cos2x$，求函数$f(x)$的单调递增区间。
2.设$a,b$为实数，假设$a^2+b^2=1$，求$|a+b|$的最大值和最小值。
3.知晓等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，假设$a_1+a_2+a_3=12$，$a_5+a_6+a_7=36$，求等差数列$\{a_n\}$的通项公式。
四、证明题〔每题10分，共20分〕
要求：证明以下各题，写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤。
1.证明：对于任意的实数$x$，都有$\sin^2x+\cos^2x=1$。
2.证明：对于任意的实数$a$和$b$，都有$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
五、解答题〔每题10分，共30分〕
要求：解答以下各题，写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤。
1.知晓函数$f(x)=2\sinx-\cos2x$，求函数$f(x)$的单调递增区间。
解：$f(x)=2\cosx+2\sin2x=2\cosx+4\sinx\cosx=2\cosx(1+2\sinx)$。令$f(x)0$，得$\cosx0$且$1+2\sinx0$。由于$\cosx$和$1+2\sinx$同时为正的区间是$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$的子集，所以函数$f(x)$的单调递增区间为$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$。
2.设$a,b$为实数，假设$a^2+b^2=1$，求$|a+b|$的最大值和最小值。
解：由于$a^2+b^2=1$，由柯西-施瓦茨不等式得$(a+b)^2\leq2(a^2+b^2)