2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
2．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）
A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
3．若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则m的值为（）
A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣3
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况为（）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有实数根
D．没有实数根
5．如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大小为（）
A．51° B．49° C．40° D．39°
6．如图，⊙O的半径为2，将⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A经过的路径长为（）
A．2 B．π3 C．2π3 D．
7．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：
移植总数m
10
270
750
1500
3500
7000
14000
成活数n
8
235
662
1335
3180
6292
12628
成活的频率nm
0.800
0.870
0.883
0.890
0.909
0.899
0.902
下列说法正确的是（）
A．若移植10棵幼树，成活数将为8棵
B．若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵
C．移植的幼树越多，成活率越高
D．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900
8．如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：
①一个圆的“半径三角形”有无数个；
②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；
③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°；
④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为23
上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝3x2向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为．
10．如图，由5个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线AB和EF剪开后重组可得到矩形ABCD，那么②可看作①通过一次得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）．
11．若关于x的一元二次方程ax2＝16有整数根，则整数a的值可以是（写出一个即可）．
12．已知y是x的二次函数，表中列出了部分y与x的对应值：
x
0
1
2
y
0
1
﹣1
则该二次函数有（填“最小值”或“最大值”）．
13．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是cm．
14．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，∠P＝60°．若⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．
15．如图，将面积为25的正方形ABCD的边AD的长度增加a，变为面积为22的矩形AEGF．若正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，则a的值是．
16．小云将9张点数分别为1～9的扑克牌以某种分配方式全部放入A，B两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k，这一事件的概率记为Pk．
（1）若将点数为1和2的扑克牌放入A袋，其余扑克牌放入B袋，则P8＝；
（2）对于所有可能的分配方式以及所有的k，Pk的最大值是．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．解方程：x2+x＝1．
18．已知2a2﹣3a+1＝0，求代数式（a﹣3）2+a（a+3）的值．
19．如图，在△ABC中，∠B＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ABC，使点B在BC的延长线上