2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛江苏赛区预赛

一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．方程xlog4x=x

2．设等差数列an的公差为d，Sn是其前n项和．已知a2025=S2025

3．设z为复数，i为虚数单位．若z-1z+1的实部为0，则z

4．2sin20°+cos

5．在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=

▲．

6．在四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，BC=2，AD=3，沿直线AC将

▲．

7．在△ABC中，AB=5,BC=3,CA=4，点I为△

8．甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球．甲乙两人每次交换1个球，经过四次交换后，黑球仍然在甲的概率为▲．

9．已知△ABC的面积为2，AB=2，则CBCA的范围为

10．如图，函数fx=ex-e+1与gx=lnx+e-1的部分图像组成封闭曲线C．设斜率为-1

11．设τd表示正整数d的所有正因数的个数，例如6有4个正因数：1,2,3,6，则τ6=4

f

则f100的值为▲

12．设函数fx定义在[0,+∞)上，f2=0，

若fxfy?fy=

二、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

13．设A,B,C为

14．如图，在圆内接四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，满足DE=

若∠DAE=∠CAB，求证

15．设数列an满足：a

证明：当n≥2时，

16．有9支队伍进行单循环赛（任意两队之间进行一场比赛）．在比赛了一阶段后进行统计，发现任意3支队伍之间最多进行了两场比赛，求此时这9支队伍之间的比赛总场次的最大值，并说明理由．