2025年重庆市高中数学联赛初赛试题
考试时间：80分钟
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.
1.设集合，，，则的元素个数为_______.
2.四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为_______.
3.从面积为的正六边形的个顶点中随机选个不同的点，它们构成的三角形的面积大于的概率为_______.
4.已知双曲线的两个焦点分别为，若过点的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为_______.
5.在中，的最小值为_______.
6.若实数使得关于的方程有模为的虚根，则的取值范围为
7.设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，则_______.
8.小明在注册账号时想到一个问题.他将这个问题简化如下：可以使用字符来组成五位密码，要求必须包含数字、小写字母和大写字母，且不可以出现两个相同的字符相邻.例如密码可以设置为或，但不能设置为或，则可以设置不同的密码的个数为_______.
二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9.（本题满分16分）
已知函数，设是三个不同的实数，满足，求的取值范围.
10.（本题满分20分）
已知数列满足，数列满足，为数列前项和.
（1）若，求的通项公式；
（2）对于给定的，求所有可能的．
11.（本题满分20分）
在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点、、满足四边形为平行四边形，关于的对称点为.若、、、四点共圆，且直线过，求实数的值.
2025年重庆市高中数学联赛初赛试题参考答案
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.
1.设集合，，，则的元素个数为_______.
【答案】
【解析】,，故，的元素个数为.
2.四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为_______.
【答案】
【解析】利用勾股定理可算得，，故在等腰中可算得点到直线的距离为.
3.从面积为的正六边形的个顶点中随机选个不同的点，它们构成的三角形的面积大于的概率为_______.
【答案】
【解析】记正六边形的个顶点顺时针依次为，易知从中选个不同的点构成的三角形只有三种不同的形状，分别为（其中下标按模理解），其面积依次为，而形如的三角形共有个，故构成的三角形的面积大于的概率为.
4.已知双曲线的两个焦点分别为，若过点的直线与双曲线交于两点，且,，则双曲线的离心率为_______.
【答案】
【解析】不妨在双曲线靠近的这一支上，取中点，则.设，由双曲线的第一定义知，从而.由知，可得.又由及可得，解得.于是，可得离心率.
5.在中，的最小值为_______.
【答案】
【解析】由余弦定理及均值不等式，，所以.于是由正弦定理，原式.令，则.又当时，原式.故原式的最小值为.
6.若实数使得关于的方程有模为的虚根，则的取值范围为
【答案】
【解析】
法一：设方程有模为的虚根，其中满足.代入有，从而有且.注意，所以.注意，所以.另一方面，对每一个，可找到一个，使得，，，且使方程有模为的虚根.故的取值范围为.
法二：由实系数多项式方程虚根成对原理，可设方程的两虚根为，其中满足.由韦达定理知此三次方程三根之和为0，从而其唯一实根为.再由韦达定理知，.下同法一.
7.设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，则_______.
【答案】
【解析】由且知,.注意满足，故在区间上的最大值即为在区间上的最大值.又注意在区间上，故在区间上的最大值即为在区间上的最大值，从而.再注意在区间上单调递增且，故，所以.
8.小明在注册账号时想到一个问题.他将这个问题简化如下：可以使用字符来组成五位密码，要求必须包含数字、小写字母和大写字母，且不可以出现两个相同的字符相邻.例如密码可以设置为或，但不能设置为或，则可以设置不同的密码的个数为_______.
【答案】
【解析】我们先只考虑相邻字符不同的密码，共有种.这里面不满足要求的有两类：第一类是仅包含单一字符类型（如全数字），这类共有种；第二类是仅包含两种字符类型（如数字和小写字母），共有个不同的字符可选，只满足相邻不同的密码有种，其中单一字符类型的有种，故第二类共有种.所以不同密码的总个数为.
二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9.（本题满分16分）
已知函数，设是三个不同的实数，满足，求的取值范围.
【解析】设，即方程有三个不同的实根.由于在单调递增，且该部分值域为；在单调递增，且该部分值域为，且.结合图像可知，方程有三个不同的实根，当且仅当方程有两个不同的实根，即当