第41届全国中学生物理竞赛复赛试题
（2024年9月21日上午9：00-12：00）
考生须知
1、考生考试前请务必认真阅读本须知。
2、本试题共7道题，5页，总分为320分。
3、如遇试题印刷不清楚的情况，请务必及时向监考老师提出。
4、需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸上；写在试题纸和草稿纸上的解答一律不给分。
1.高层建筑（大楼）在风的作用下会发生晃动。在特定条件下，大楼的晃动幅度会变得较大，影响到安全。
（1）为了减小晃动幅度，通常会在高层建筑上加装阻尼器，例如悬点固定在大楼上、摆锤质量为m、摆臂长度为l的摆，摆臂是刚性的，质量可以忽略；大楼在风作用下的运动可简化为谐振子的强迫振动，谐振子的质量为M，恢复力等效为劲度系数为k的弹簧，大楼在运动过程中可视为刚体。整个摆和谐振子系统如图所示，系统的总质量为m与M之和。风可视为水平方向上的强迫力F（向左为正），它随时间t的变化为
其中振幅H和频率ω均为常量。重力加速度大小为g。为简单起见，只考虑摆和谐振子的小幅度振动（因而摆便成为单摆）。
（1.1）求谐振子因强迫力F的作用产生的稳定振动的振幅；
（1.2）指出在没有阻尼器的情况下，风的频率为多大时，大楼受迫振动的振幅最大？对此频率的风，阻尼器应满足何种条件会最大限度地减小大楼的受迫振动？
（2）若风的频率为第（1.2）问中求出的风的频率的倍，在没有阻尼器的情况下，求此时大楼受迫振动的振幅有多大？若安装的阻尼器参数l符合第（1.2）问中得到的条件，为了使得大楼在此风的作用下的受迫振动的振幅减到无阻尼器时的1%，阻尼器的质量m应该为M的多少倍？
（3）实际的阻尼器还装有其他装置以提供阻尼力，通常做法是将摆锤浸泡在固定于建筑物上的油池中（相对于建筑物的质量，油的质量可以忽略；油池质量可视为已包含在大楼的质量之内）。已知当摆锤与油的相对速度为时，摆锤受到的阻尼力为其中γ为常量。试写出考虑加上阻尼力后系统的运动方程组（列方程组时不做小幅度近似，无需求解该方程组），为简单起见，假定摆球摆动时，油可视为相对于油池（固定在大楼上）静止。试根据你的理解定性分析为什么阻尼力是必不可少的。
2.打台球时常用Q球撞击目标T球，如图所示。Q球与T球的质量m和半径R均相同，且两球质量分布都是均匀的；Q球在碰撞前的瞬间具有质心速度和转动角速度，沿y方向；碰撞时间极短，且Q球和T球之间没有摩擦，可认为两球碰撞是完全弹性的，球与桌面可视为点接触。
（1）在发生碰撞后的瞬间，T球和Q球的飞行方向与y轴之间的夹角分别为和θ（见图a）。求碰撞后的瞬间，两球飞行方向之间的夹角的值以及Q球的质心速度和转动角速度ω（用等表示）。
（2）如图b，Q球碰撞后在摩擦力的作用下，需要经过时间才能达到无滑滚动（也称纯滚）。已知和Q球与桌面之间的摩擦系数μ。以下各小问的结果用，以及重力加速度g等表示。
（2.1）在碰撞后任意时刻，Q球上与桌面的接触点称为此时刻的C点，在碰撞后的瞬间，求C点相对于桌面的速度的x、y分量的表达式；
（22）求碰撞后Q球达到纯滚所需时间；
（2.3）求在碰撞后直至纯滚前，Q球质心运动的轨迹；
（2.4）Q球达到纯滚后，定性指出Q球质心运动的轨迹形状，给出其质心的速度与y方向之间的夹角的正切的表达式。
（3）如图c，台球手在开球时用球杆击打处于静止状态的Q球，在极短的时间内给球上某点赋予一个水平冲量M，该点在竖直大球面高度h处，M的方向在过该点的竖直大球面内，使得作用后小球获得质心速度（沿图b的y方向），以及转动角速度，当h取特定值时，可使得Q球无滑滚动飞向T球。求此特定值。
（4）现探讨台球手熟悉的：30°角经验规则：自然伸开食指和中指（两指间角度大致为30°）；食指指向Q球初始飞行方向，在某些碰撞条件下，中指将大致告知球手Q球最终的飞行方向。在第（3）问中的条件下，Q球与T球发生弹性碰撞后，已知T球沿角度φ飞出（见图a），求
（4.1）在碰撞后直至达到纯滚前的过程中，Q球质心运动的轨迹；；
（4.2）Q球最终飞行方向与y轴之间的夹角的正切的表达式；
（4.3）当T球的飞出角度取某角度时，具有一个极大值，求和的值，计算在和时的并将求出的这6个值填入下表：
3.液体与其它介质（包括其蒸汽）之间的分界面称为液体的表面，液体的表面有表面张力，液体的表面张力系数是表征其性质的重要特征量之一、
（1）某油井内未抽出的石油（油气混合物）的温度为100℃，它的密度是混有表面活性物质的水（简称“水”）的80%，比热容量是“水”的60%，记此石油的状态为参考状态。这种石油和“水”的混合物的表面张力系数σ与其温度T（单位K）和压强p（单位bar）的关系可以近似表述为
该混合物的等体压强系数（系统在体积不变情况下其温度升高1K所引起的系统压强的变