等式性质与不等式性质
课标解读1.梳理等式的性质,理解不等式的概念.2.掌握不等式的性质.3.能够利用不等式的性质解决有关问题.
强基础?固本增分
知识梳理1.比较两个实数大小的方法关系方法作差法作商法作商比较的两个数是同号的aba-b01(a,b0)或1(a,b0)a=ba-b=0=1(b≠0)aba-b01(a,b0)或1(a,b0)
2.不等式的性质性质性质内容对称性ab?;ab??传递性ab,bc?;ab,bc??可加性ab?a+cb+c可乘性ab,c0?;ab,c0??同向可加性ab,cd?a+cb+d同向不等式可以相加,但不能相减同向同正可乘性ab0,cd0??可乘方性ab0,n∈N*?anbn可开方性ab0,n∈N,n≥2?babaacacacbcacbcacbd
?误区警示应用不等式的可乘性时,一定要注意乘数c的正负.?
自主诊断?√×××
2.(人教A版必修第一册2.1节练习第2题改编)比较两个式子的大小:(x+3)(x+7)(x+4)(x+6).?解析(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)=x2+10x+21-(x2+10x+24)=-30,所以(x+3)(x+7)(x+4)(x+6).
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二、连线高考4.(2019·全国Ⅱ,理6)已知ab,则有()A.ln(a-b)0 B.3a3bC.a3-b30 D.|a||b|C?
?ABD?
研考点?精准突破
考点一比较两个数(式)的大小例1(1)(2024·浙江金华模拟)设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若abc,则下列选项正确的是()A.NP B.PMC.NM D.M+N2PB
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?C?
?A?
考点二不等式的性质及其应用(多考向探究预测)考向1利用不等式的性质判断不等关系例2(1)(多选题)(2024·湖南师大附中模拟)已知a,b,c,d∈R,且ab,cd,则下列关系一定成立的有()A.a-db-c B.acbdC.ac2bc2 D.ac+bdad+bcAD解析由题意可知,ab,cd.对于A,由ab,-d-c,根据同向可加性得a-db-c,故A正确;对于B,取a=2,b=-5,c=-2,d=-3,可验证B错误;对于C,若c2=0,则不等式不成立,故C错误;对于D,两式作差得ac+bd-(ad+bc)=a(c-d)+b(d-c)=(a-b)(c-d),因为ab,cd,所以a-b0,c-d0,所以ac+bdad+bc,故D正确.故选AD.
?BCD
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?AD
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考向2利用不等式的性质求代数式的取值范围例3已知2a6,-3b2,试求2a+b,a-2b的取值范围.解因为2a6,所以42a12,又-3b2,所以12a+b14.因为-3b2,所以-4-2b6,又2a6,所以-2a-2b12.
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变式探究2本例中,将条件改为“已知-1x+2y4,22x-3y3”,求4x+y的取值范围.解设4x+y=a(x+2y)+b(2x-3y)(a,b∈R),则a+2b=4,2a-3b=1,解得a=2,b=1.因此4x+y=2(x+2y)+(2x-3y).由于-1x+2y4,22x-3y3,所以02(x+2y)+(2x-3y)11,即04x+y11,故4x+y的取值范围是(0,11).
?ABD?