微专题11最短路径问题
1.[2024河南平顶山二模]如图1,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠ACB=60°,AM=AN=13
A.23B.72C.7
2.[2023内蒙古通辽]如图,在扇形AOB中,∠AOB=60°,OD平分∠AOB交AB于点D,点C是半径OB上一动点，若OA=1，则阴影部分周长的最小值为()
A.2+π
C.22+π
3.[2024黑龙江绥化]如图,已知∠AOB=50°,点P为∠AOB内部一点，点M，点N分别为射线OA，射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时,则∠MPN=.
4.[2024四川泸州校级模拟]如图，在直角坐标系中,A(-2,0),B(0,2),C是OB的中点,点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点,过点P作PH⊥OA于H,Q是点B关于点A的对称点,则BP+PH+HQ的最小值为
5.[2024江苏扬州]如图,点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB=2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH,∠PMN=90°,直角边MP恒过点C,直角边MN恒过点H.
(1)如图1,若BE=10,EF=12,求点M与点B之间的距离；
(2)如图1,若BE=10,当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；
(3)如图2,若BF=22,当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH，点O是CH的中点,连接HB,MO,则2OM+HB的最小值为
C解析:如图,作点N关于BD的对称点N,连接MN,NN,PN,MN,
∵四边形ABCD为菱形,
：点N在CD上，由对称可得BD垂直平分NN,∴PN=PN,
∴PM+PN=PM+PN,
:当M、P,N三点共线时,PM+PN的值最小、为MN的长，
∵AM=1
∴AB=BC=3,
AC⊥BD.
在Rt△BCO中,BO=BC·sin∠OCB=3×32=
∴BD=2BO=3
∵AM=AN=
∴
∵∠MAN=∠BAD,
∴△AMN∽△ABD,
∴∠AMN=∠ABD,AMB=M/D=13即MN3
∴MN∥BD,MN=3
∵AC⊥BD,NN⊥BD,
∴NN∥AC,∴△DNN∽△DAC,
∴DNAD=
∵MN∥BD,NN⊥BD,
∴MN⊥NN,即∠MNN=90°,
∴在Rt△MNN中,MN
∴PM+PN的最小值为7,即(a=
1A解析:如图,作点D关于OB的对称点D,连接AD,CD,OD,
则CD=CD,OD=OD,∠DOB=∠BOD,∵AC+CD=AC+CD
∵OD平分∠AOB,∠AOB=60°,
∴∠AOD=∠DOB=
∴∠BOD=30°,∴∠AOD=90°,在Rt△OAD中,OD=OD=OA=1,∴AD=2,又AD的长=30π×1
3.80°
解析：作点P关于OA的对称点E，连接OP,EP,EO,EM,如图,
∴EM=MP,∠MPO=∠OEM,∠EOM=∠MOP,
作P点关于OB的对称点F,连接NF,PF,OF,EF,
∴PN=FN,∠OPN=∠OFN,∠PON=∠NOF,
∴PM+PN+MN=EM+NF+MN≥EF,
∴当E,M,N,F共线时,△PMN周长最小,此时∠OEM=∠OEF,∠OFN=∠OFE,
又∵∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF,∠AOB=∠MOP+∠PON=50°,
∴∠EOF=2∠AOB=100°,
∴在△EOF中,∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°,
∴∠OEM+∠OFN=180°-100°=80°,
∵∠MPO=∠OEM,∠OPN=∠OFN,
∴∠MPO+∠OPN=80°,
∴∠MPN=∠MPO+∠OPN=80°.
4.6
解析：连接CH，
∵A(-2,0),B(0,2),∴OB=2,OA=2,
∵C是OB的中点,∴BC=OC=1,
∵∠PHO=∠COH=∠DCO=90°,
∴四边形PHOC是矩形,
∴PH=OC=BC=1,
∵PH⊥OA,BO⊥OA,∴PH∥BC,
∴四边形PBCH是平行四边形，
∴BP=CH,∴BP+PH+HQ=CH+HQ+1,要使CH+HQ的值最小,只需C,H,Q三点共线即可，
∵点Q是点B关于点A的对称点，
∴Q(-4,-2),
又∵点C(0,1),
∴根据勾股定理可得CQ=0+42
即BP+PH+HQ的最小值为6.
5.(1)4或6(2)12.5