专题3.1函数的概念及其表示
课标要求
考情分析
核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
新高考
近3年考题
题号
考点
数学抽象
数学运算
逻辑推理
2024(Ⅰ)卷
6,8
分段函数/抽象函数
2024(Ⅱ)卷
/
/
2023(Ⅰ)卷
11
抽象函数
2023(Ⅱ)卷
19
求函数解析式
2022(Ⅰ)卷
/
/
2022(Ⅱ)卷
8
抽象函数
1.函数的概念
函数
两个集合A,B
设A,B是两个非空实数集
对应关系
f:A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则称
f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y=fx,x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系；
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
【重要结论】
①判断两个函数是否为相同函数：一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同；
②判断图象是否为函数图象：直线x=a与图象至多有一个交点.
3．函数的三种表示法
解析法
图象法
列表法
就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y
就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x
就是将变量x，y的取值列成表格，
4.分段函数
(1)分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数；
(2)定义域：各段函数的定义域的并集；
(3)其值域:各段函数的值域的并集.
1.【人教A版必修一P663.1.1例3】下列函数中，与f(x)=x(x?1),x≥0?x(x+1),x0有相同图象的函数是(????)
A.y=x(x2?1) B.y=|x|(x?1) C.x(|x|?1)
2.【人教A版必修一P73习题3.1T7】画出函数fx=x2?1,?x≥0?2x,?x0
考点
考点一求函数的定义域
【典例精讲】
例1.(2024·山东省潍坊市模拟)在平面直角坐标系xOy内，将曲线C1：x2+y2=1(x≥0)绕原点O逆时针方向旋转角α得到曲线C2，若
A.30° B.60° C.90° D.180°
例2.(2024·安徽省安庆市联考)德国数学家狄利克雷(P.G.L.Diric?let在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的一个函数．”这个定义较清楚的说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是公式还是用图像、表格等形式表示．已知函数y=log3|x|，y∈{0,1}，则这样函数的个数有
A.4 B.8 C.9 D.无数个
【方法储备】
1.判断两个函数是否为同一个函数,关键在于两点:一是定义域相同;二是对应关系相同.其中定义域要在解析式化简之前求得,在定义域的限制条件下可以对解析式进行化简.
2.函数定义中要求对于x的每一个确定值,y应有唯一的值与之对应,否则就不能确定函数关系,据此可通过取特殊值验证的方法判断给出的一个对应关系是否是函数.
【拓展提升】
练11(2024·四川省泸州市期末)托马斯说：“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M={?1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函数的是(????)
A.y=2x B.y=x+2 C.y=x2
练12(2024·湖北省襄阳市月考)(多选)中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是(????)
A.y=x0?1与y=0 B.y=x?1?x与y=x?x
考点
考点二求函数的定义域
【典例精讲】
例3.(2023·湖北省宜昌市月考)已知函数f(x)=1ln(x+1)+4?
A.(?2,0)∪(0,4] B.(?1,0)∪(0,2