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3.7泰勒公式

在实际问题中,往往希望用一些简单的函数

来近似代替复杂的函数.

设在处可导,由微分得

而多项式函数就是最简单的一类初等函数.

如,当

不足:1.精确度不高;

2.误差不能估计.

问题:

寻找多项式函数,使得

误差可估计.

误差

设函数在含有的开区间(a,b)内具有

直到(n+1)阶导数,为多项式函数

定理3.13(泰勒中值定理)

多项式与一个余项之和.

称为皮亚诺型余项.

其中

称为拉格朗日型余项.

称为按的幂展开的n次近似多项式.

称为按的幂展开的n阶泰勒公式.

注意:

1.当n=0时,泰勒公式变成拉氏中值公式

2.取,在0与x之间,令

则余项

麦克劳林公式

近似公式

误差估计式为

拉格朗日型余项

皮亚诺型余项

例1设函数

证明:当k为奇数时,不是的极值点;

当k为偶数,且时,是的极

时,是的极大值点.

小值点,

证由泰勒公式有

即

因此当k为奇数时,

不是的极值点；

当k为偶数,且时,

是的极小点;

是的极大点.

解

代入公式,得

例2求的n阶麦克劳林公式.

于是

注意到

估计误差

其误差

取

常用函数的麦克劳林公式

解

例3将

的多项式.

解

例4计算

例5证明不等式

的三阶麦克劳林公式为

证

其中

故