摘要
摘要
随着分数阶随机时滞微分方程在生物学、力学、电路等领域的广泛应用，有关这
类方程解的研究越来越多．为了让分数阶中立型随机时滞微分方程在实际应用中占据
有利地位，本文将研究分数阶中立型随机时滞微分方程的适定性和数值解．
具体研究内容如下：
第一，讨论了一类Hurst指数为H12的带标准布朗运动的分数阶中立型随机时
滞微分方程的适定性和数值解．具体研究方法为：利用分步法思想，在各个区间0,τ,
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τ,2τ,?,n?1τn,τ上讨论带标准布朗运动的分数阶中立型随机时滞微分方程解的
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存在唯一性，然后考虑方程的解对初值的连续依赖性．基于此，利用波形松弛方法给
出数值解，在分裂函数满足Lipschitz条件下证明该方法在均方意义下收敛，并通过两
个数值算例说明该方法的有效性．
第二，讨论了一类Hurst指数为H?12,1的带分形布朗运动的分数阶中立型随机
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时滞微分方程的适定性和数值解．具体研究方法为：将解的存在性问题转化为找算子
不动点问题，再利用Banach不动点定理证明该算子的唯一性，随后讨论方程的解对初
值的连续依赖性．接着给出该方程的波形松弛方法的数值解，在分裂函数满足Lipschitz
条件下证明该方法在均方意义下收敛，并通过一个数值算例说明该方法的有效性．
关键词：分数阶中立型随机时滞微分方程；适定性；波形松弛方法；Banach不动点
论文类型：理论研究
I
目录
目录
第1章绪论1
1.1研究背景及意义1
1.2国内外研究现状1
1.2.1数学理论的研究现状1
1.2.2数值计算的研究现状3
1.3主要研究内容3
第2章预备知识5
2.1函数空间5
2.2分数阶微积分的定义及相关引理5
2.3随机微分方程基本理论6
2.3.1布朗运动的基本理论6
2.3.2分形布朗运动基本理论8
2.4半群理论相关概念9
第3章带标准布朗运动的分数阶中立型随机时滞微分方程解的适定性和数值解11
3.1带标准布朗运动的分数阶中立型随机时滞微分方程解的适定性11
3.1.1解的存在唯一性11
3.1.2解对初值的连续依赖性15
3.2带标准布朗运动的分数阶中立型随机时滞微分方程的数值解17
3.2.1数值求解方法及其收敛性分析17
3.2.2数值实验22
第4章带分形布朗运动的分数阶中立型随机时滞微分方程解的适定性和数值解27
4.1带分形布朗运动的分数阶中立型随机时滞微分方程解的适定性27
4.1.1解的存在唯一性27
4.1.2解对初值的连续依赖性35
4.2带分形布朗运动的分数阶中立型随机时滞微分方程的数值解37
4.2.1数值求解方法及其收敛性分析37
4.2.2数值实验41
第5章总结与展望43