第13讲常用函数模型
【教学目标】
通过基础训练题，学会常用函数图像和性质，能利用函数图像解决参数的取值范围问题.
2.在典型例题的解决过程中，会利用常用函数图像解决复杂数学问题，感悟数形结合、分类讨论等数学思想方法.
【教学重点】
二次函数、对勾函数、分式函数等常用函数的含参问题
【教学难点】
1.二次函数动轴定区间和定轴动区间问题2.利用不同函数模型，从而解决实际问题
【知识梳理】
一、二次函数：
1、二次函数：，对称轴，顶点
2、二次函数在区间上的值域【定区间动轴】
（1）当时，
（2）当时，
（3）当时，【距离对称轴越远，函数值越大】
3、一元二次不等式（）——借助图像理解，莫要死背！
方程的判别式
函数的图像
不
等
式
（1）
（2）
（3）
（4）
当时的口诀：大于取两边【两根之外】，小于取中间【两根之间】（每个因式系数必须为正）
4、二次函数根的分布（实根）【数形结合】【两根异号】
一个
图像
等价条件
（1）不同区间，只看端点（2）同一区间，要看三点：（开口方向），对称轴，区间端点
二、分式函数：
1、分式函数的图像与性质（分离常数）
（1）定义域：；（2）值域：；（3）单调性：当时，和递减；当时，和递增；
（4）奇偶性：当时为奇函数；
（5）渐近线及对称中心：直线和，点；
图象：如下图所示
2、分式函数（“耐克函数”）的图像与性质：
（1）定义域：；（2）值域：；
（3）奇偶性：奇函数；
（4）单调性：上是增函数；
上为减函数；
（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；
（6）图象：如右图所示
3、总结常用函数的图像如下：
（1）（2）
（3） （4）
【教学过程】
例1设、为实数，函数，．
（1）当时，若该函数在定义域上为单调函数，求的取值范围；
（2）当时，将该函数的最小值记为，求的表达式．
例2已知函数.
（1）当为何值时，函数与轴两个交点间的距离为4？
（2）当为何值时，函数与轴两个交点在点两旁？
（3）当为何值时，函数与轴两个交点在区间内？
例3已知函数，其中.
（1）当函数的图象关于点成中心对称时，求及不等式的解集；
（2）若函数在上严格增，求的取值范围.
例4函数的定义域为（为实数）.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数在定义域上是严格减函数，求的取值范围.
【课后练习】
设二次函数，若，则的值为（）
A．正数 B．负数
C．非负数 D．正数、负数和零都有可能
已知函数，若的最小值是，则
设为常数，是方程的两根，若且，则实数的取值范围是
已知函数在区间上的最小值是最大值是，求，的值.
（1）在上严格增，则a的范围是
（2）的对称中心为，则a的值为
（3），上的值域为.
（1）函数在上的值域是
（2）函数在上的值域是
若函数在上严格增，则实数的取值范围是 （）
A． B． C． D．
关于函数，有下列四个命题：
（1）的值域是；（2）是奇函数；
（3）在上严格增；（4）方程总有四个不同的解.
其中正确的是（）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）
【拓展提升】
已知函数，．给出下列命题:
①必是偶函数；
②时，的图像必关于直线对称；
③若，则在区间上是增函数；
④有最大值．
其中，正确命题的序号是③
设函数的定义域为，若所有点，，构成一个正方形区域，则的值为 （）
A． B．
C． D．不能确定