关于插值法模拟空缺实验点第1页，共24页，星期日，2025年，2月5日
线性插值(一次插值)(1/2)两点插值函数p1(x):分段插值法先判断x落在哪个区间[x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn]如落在[xi-1,xi]区间，则利用两点线性插值计算公式计算外推：如果落在x0左边或xn右边，则使用[x0,x1]或[xn-1,xn]作为插值空间。y=p1(x)y=f(x)x1x0y0y1y=p1(x)y=f(x)x1x0y0y1xnxn-1…ynyn-1…第2页，共24页，星期日，2025年，2月5日
线性插值(一次插值)(2/2)例1:在进行统计检验时，已知计算出的值为4.28，欲求其在自由度f=9时的概率值，查分布表发现没有4.28对应的概率值。已知试用线性分段插值求其概率值。第3页，共24页，星期日，2025年，2月5日
拉格朗日(Lagrange)插值多项式Lagrange插值原理一元三点Lagrange插值(分段抛物线插值)Matlab实现一元三点Lagrange插值第4页，共24页，星期日，2025年，2月5日
Lagrange插值原理(1/4)对于两个结点:基函数：性质：第5页，共24页，星期日，2025年，2月5日
Lagrange插值原理(2/4)对于三个结点:基函数：性质：第6页，共24页，星期日，2025年，2月5日
Lagrange插值原理(3/4)对于n+1个结点:基函数：性质：一元n+1点Lagrange)插值多项式：第7页，共24页，星期日，2025年，2月5日
Lagrange插值原理(4/4)例2:已知某种难溶物质在不同温度的酸中溶解度，试求30℃时的溶解度。第8页，共24页，星期日，2025年，2月5日
分段抛物线插值对于n个插值结点x1x2…xn，选择最靠近插值点x的相邻三个点，得到一元三点插值函数判断插值点x位置和选点方式xixi+1xxi-1xi+2第9页，共24页，星期日，2025年，2月5日
Matlab实现一元三点Lagrange插值输入数据Xi(i=1…n)的值从小到大排列。开始输入数据Xi,Yi(i=1…n)判断插值点位置No=1根据一元三点Lagrange插值公式计算y0输出结果结束X0=X2输入插值点X0No=n-2X0Xn-1XiX0=Xi+1X0–Xi-1Xi+2-X0falseNo=i-1trueNo=i第10页，共24页，星期日，2025年，2月5日
埃尔米特(Hermite)插值(1/3)已知函数y=f(x)在n个点处:对应的函数值为对应的导数值为次数不超过2n-1次多项式P2n-1(x)满足这样的插值多项式称为Hermite插值多项式几何意义:p(x)与f(x)都经过共同点，且在这些点的切线处切线相等第11页，共24页，星期日，2025年，2月5日
埃尔米特(Hermite)插值(2/3)经推导，Hermite插值多项式为:第12页，共24页，星期日，2025年，2月5日
埃尔米特(Hermite)插值(3/3)实际应用中使用分段插值法，对于区间[x1,x2],插值结点为n=2，由前式得三次的hermite插值Matlab函数：y=pchip(x,y,xi)第13页，共24页，星期日，2025年，2月5日
三次样条函数插值对于给定的插值序列(xi,yi)(i=0,1,…,n)，有n+1个插值点:对应的函数值为,则在区间[x0,xn]上插值函数S(x)满足一下三个条件:(1)插值条件，即(2)连续条件，即在整个区间[x0,xn](i=1,…,n-1)上，结点xi处有一阶和二阶连续导数：(3)在每个子区间[xi-1,xi](i=1,…,n)上S(x)都是三次多项式。称S(x)为三次样条函数或三次样条多项式。第14页，共24页，星期日，2025年，2月5日
三次样条函数插值三次样条与分段Hermite插值的区别:自身光滑，不需要知道f的导数值Hermite插值依赖于f在所有插值点的导数值。三次样条多项式的求解较复杂Matlab函数y=spline(x,y,xi)第15页，共24页，星期日，2025年，2月5日
Matlab插值函数(1/3)对于Lagrange插值，由于lagrange插值可能不收敛，Matlab没有提供此函数。Matlab编程实现的Lagrange插值函数yi=interp1(x,y,xi,method)其中x,y为已知数据值,xi为插值点,yi为xi的插值结果值)‘method’表示采用的插值方法，缺省时表示线性插值nearest最邻近插值;l