7.4平面曲线的弧长7.4平面曲线的弧长关于微积分平面曲线的弧长第1页，共14页，星期日，2025年，2月5日*设A、B是曲线在弧上插入分点依次用弦将记每条弦的长度为折线长度的极限如果当分点无限增加,弧长(长度).弧上的两个端点,光滑曲线弧是可求长.则称此极限为曲线弧AB的相邻两点联结起来,得到一条内接折线.一、平面曲线弧长的概念第2页，共14页，星期日，2025年，2月5日*弧长元素弧长小切线段的长为:弧段的长,设曲线弧为y=f(x)其中f(x)在[a,b]上有一阶连续导数.取积分变量为x,任取小区间}在[a,b]上二、直角坐标情形现在计算这曲线弧的长度.(弧微分)以对应小切线段的长代替小第3页，共14页，星期日，2025年，2月5日*解所求弧长为例悬链线方程计算介于之间一段弧长度.第4页，共14页，星期日，2025年，2月5日*解例计算曲线的弧长第5页，共14页，星期日，2025年，2月5日*曲线弧为弧长其中在[a,b]上具有连续导数.三、参数方程情形现在计算这曲线弧的长度.取参数t为积分变量,其变化区间为对应于上任一小区间的小弧段的长度的近似值,即弧长元素为第6页，共14页，星期日，2025年，2月5日*解星形线的参数方程为对称性第一象限部分的弧长例求星形线的全长.第7页，共14页，星期日，2025年，2月5日*证设正弦线的弧长等于s1设椭圆的周长为s2证明正弦线例的弧长等于椭圆的周长.对称性第8页，共14页，星期日，2025年，2月5日*曲线弧为弧长具有连续导数.四、极坐标情形现在计算这曲线弧的长度.由直角坐标与极坐标的关系：弧长元素为为参数的参数方程第9页，共14页，星期日，2025年，2月5日*解求极坐标系下曲线例的长.第10页，共14页，星期日，2025年，2月5日7.4平面曲线的弧长7.4平面曲线的弧长