;10简单线性回归;本章内容
概述
简单线性回归模型
线性回归的应用及注意的问题
;;儿子身高〔Y，英寸〕与父亲身高〔X，英寸〕存在线性关系：
即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来说不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子父代的子代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton将这种趋向于种族稳定的现象称之“回归〞。;Regression释义;;;两个变量X与Y之间数量变化的关系：
1.函数关系，X与Y之间一一对应。例如园周长与半径：y=2πr，直线y=a+bx。
2.回归关系。两个变量之间有数量依存关系，但非一一对应的函数关系。如儿童年龄与身高、年龄与体重的关系等。;一、直线回归的概念
研究两个连续性变量X和Y之间线性依存变化数量关系的方法。
X为自变量〔independentvariable)
Y为依赖于X的变量称作因变量〔dependentvariable〕，或反响变量〔responsevariable〕
两个变量之间有数量依存关系，但非一一对应的函数关系，被称作回归关系。;二、直线回归分析的任务
找出最适合的直线回归方程，以确定一条最接近于各实测点的直线，来描述两个变量之间的回归关系。
X值和Y的关系，是一种线性回归关系，不同于一般数学上的X和Y的函数关系
;;由图可见，根底代谢随体重的增加而增加，且呈直线趋势，但并非所有点子恰好全都在一直线上，此与两变量间严格的直线函数关系不同，称为直线回归〔linearregression〕，其方程叫直线回归方程，以区别严格意义的直线方程。
直线回归是回归分析中最根本、最简单的一种，故又称简单回归。;三、线性回归模型的适应条件;;四、直线回归方程一般形式及其符号的意义;由样本估计的线性回归方程;;1．a为回归直线在Y轴上的截距;2.b为回归系数，即直线的斜率;直线回归方程的建立：
求解a、b。实际上就是“合理地〞找到一条能最好地代表数据点分布趋势的直线。;1.回归参数估计的最小二乘法原那么
(leastsumofsquares)
即保证各实测点至回归直线的纵向距离的平方和为最小。
回归分析图
残差(residual)或剩余值：即实测值Y与假定回归线上的估计值的纵向距离;;???骤;;2．计算根本数据。;3、计算有关指标的值
4、计算回归系数和截距公式
;5、列出样本回归方程;六、总体回归系数β的统计推断;〔一〕回归方程的假设检验;检验例11-1数据得到的直线回归方程是否成立？;1．方差分析;;数理统计可证明：;上式用符号表示为;上述三个平方和，其自由度有如下的关系：
?总=?回+?残，
?总=n-1，?回=1，?残=n-2;如果两变量间总体回归关系确实存在，回归的奉献就要大于随机误差，计算统计量F:;方差分析步骤;表11-2方差分析表;以?1=1，?2=12，查F界值表，得
F0.01〔?1，?2〕=9.07，P0.01。
按?=0.05水准，拒绝H0，接受H1。可以认为体重与根底代谢之间存在直线回归关系。;对?=0这一假设是否成立还可进行t检验;样本回归系数b的标准误：;SY.X为的标准误，它反响散点围绕回归直线的离散程度。Sy.x为各观察值Y距回归线纵向〔〕距离的标准差，反映X的影响被扣除后Y的变异，称为标准估计误差〔standarderrorofestimate〕。
在直线回归中，各实测值Y与由回归方程计算出的估计值之间是有一定误差的，称为残差或估计误差，即。该误差的离散程度，可用类似求标准差的式子进行计算，即标准估计误差。由于决定于均数及回归系数，所以自由度为n-2。;t检验;;注意：
，即直线回归中对回归系数的t检验与F检验等价，类似于两样本均数比较既可以作t检验亦可作单因素方差分析。
;;〔二〕总体回归系数?的置信区间;本例b=61.4229,自由度?=12，t0.05/2,12=2.179，Sb=4.881，代入公式，得：
总体回归系数β的95%置信区间为：
61.4229-2.179×4.881,61.4229-2.179×4.881
=〔50.787，72.059〕;注意：
此区间不包括0，按?=0.05水准同样可以得到总体回归系数?不为0的结论，即用区间估计法答复取相同?时的假设检验问题。;决定系数(coefficientofdetermination);