关于传染病传播模型(2)第1页，共42页，星期日，2025年，2月5日传染病传播问题和自然科学中一些已经有确定规律的问题不同，不可能立即对它做出恰当的假设，建立完善的模型，只能先做出最简单的假设，建立模型，得出结果，分析是否符合实际，然后针对其不合理或不完善处，进行修改或补充假设，逐步得到较为合理的模型。第2页，共42页，星期日，2025年，2月5日模型1（SI模型）假设条件(1)人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t)和i(t)。(2)在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。(3)每个病人每天有效接触的平均人数是常数?，?称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。第3页，共42页，星期日，2025年，2月5日根据假设，每个病人每天可使?s(t)个健康者变为病人。因为病人数为Ni(t)，所以每天共有?Ns(t)i(t)个健康者被感染，即病人数Ni(t)的增加率为?Ns(t)i(t)。于是得到人员流程图如下第4页，共42页，星期日，2025年，2月5日进而有再设初始时刻（t=0）病人的比例为i0，则由s(t)+i(t)=1，得到初值问题Logistic模型第5页，共42页，星期日，2025年，2月5日初值问题的解为第6页，共42页，星期日，2025年，2月5日可画出i(t)~t和di/dt~i的图形为i(t)~t的图形第7页，共42页，星期日，2025年，2月5日di/dt~i的图形第8页，共42页，星期日，2025年，2月5日于是可知：①当t??时，i?1，即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况。其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。第9页，共42页，星期日，2025年，2月5日②然而，这个模型在传染病流行的前期还是可用的，可用它来预报传染病高潮的到来：当i=1/2时，di/dt达到最大值(di/dt)m，这个时刻为这时病人增加得最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。第10页，共42页，星期日，2025年，2月5日③还可以看出，tm与?成反比。因为日接触率?表示给定地区的卫生水平，?越小卫生水平越高，所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。第11页，共42页，星期日，2025年，2月5日模型2（不考虑出生和死亡的SIS模型）有些传染病如伤风、痢疾等治愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以在SI模型的基础上，增加一个假设条件就会得到SIS模型。假设条件(1)人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t)和i(t)。第12页，共42页，星期日，2025年，2月5日(2)在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。(3)每个病人每天有效接触的平均人数是常数?，?称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。(4)每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数?，称为日治愈率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者，1/?称为这种传染病的平均传染期。第13页，共42页，星期日，2025年，2月5日如果考虑到假设条件(4)，则人员流程图如下于是有第14页，共42页，星期日，2025年，2月5日记初始时刻的病人的比例i0（i00），从而SI模型可以修正为我们称之为Bernolli（贝努里）方程的初值问题，其解析解为第15页，共42页，星期日，2025年，2月5日其中?=?/?。由?和1/?的含义可知，?是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。于是有第16页，共42页，星期日，2025年，2月5日我们画出di/dt~i和i~t的图形为di/dt~i