第一节坐标系
;1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换;考点一极坐标方程与直角坐标方程的互化
;1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
?的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称φ为平面直角
坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.;2.极坐标系与极坐标;(2)极坐标
(i)极径:设M是平面内一点,极点O与点M的⑦距离????|OM|叫做点M的
极径,记为ρ.
(ii)极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记
为θ.
(iii)极坐标:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).;3.极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间
的关系为??
注:把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整
数倍).一般只要取θ∈[0,2π)就可以了.;4.常见曲线的极坐标方程;1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“?”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标建立一一对应关系,在极坐标系中,点
与坐标也是一一对应关系.?(?)
(2)若点P的直角坐标为(1,-?),则点P的一个极坐标是?.?(√)
(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.?(√)
(4)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.?(?);2.将曲线C1:x2+y2-8x-10y+16=0化为极坐标方程.;3.已知曲线C1:ρ=2?和曲线C2:ρcos?=?,求C1上到C2的距离等于
?的点的个数.;典例1在极坐标系中,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:ρsin?=?.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.;解析(1)由ρ=cosθ+sinθ可得ρ2=ρcosθ+ρsinθ,
把?代入ρ2=ρcosθ+ρsinθ,
得圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0.
由l:ρsin?=?,得ρsinθ-ρcosθ=1,
因为?
所以直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.;(2)由?
解得?
进而,由?
得?
因为θ∈(0,π),;方法技巧
极坐标方程与直角坐标方程的互化
(1)直角坐标方程化为极坐标方程:将公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可.
(2)极坐标方程化为直角坐标方程:通过变形,构造出形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常???的变形技巧.;1-1已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ,曲线C2的极坐标方程为θ=?
(ρ∈R),两曲线相交于A,B两点.请把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角
坐标方程.;典例2在极坐标系中,已知圆C经过点P?,圆心为直线ρsin?
=-?与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.;解析在ρsin?=-?中,
令θ=0,得ρ=1,
所以圆C的圆心坐标为(1,0).
因为圆C经过点P?,
所以圆C的半径PC=?=1,
于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.;方法技巧
求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点;(2)由曲线上的点所符合的条件,列出点P的极径ρ和极角θ之间的关系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标
方程.;2-1设过平面直角坐标系的原点O的直线与圆(x-4)2+y2=16的一个交点
为P,M为线段OP的中点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐
标系.求点M的轨迹C的极坐标方程.;典例3????(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为
极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的
轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为?,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.;解析(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ10).由题设知|
OP|=ρ,|OM|=ρ1=?.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB0).由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB
面积S=?|OA|·ρB·sin∠AOB
=4cosα·?;=2?≤2+?.
当α=-?时,S取得最大值2+?.
所以△OAB面积的最大值为2+?.;