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四川省乐山市2025届第三次调查研究考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（???）
A． B． C． D．
2．已知在复平面内，，复数，对应的点为，，则（???）
A．5 B． C．2 D．
3．已知数列的通项公式为，则下列不是数列的项的是（???）
A．2 B．13 C．39 D．49
4．已知，，则的值为（???）
A． B． C． D．
5．与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆方程为（???）
A． B． C． D．
6．已知等腰三角形中，，，，，，那么（???）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的值为（???）
A． B． C． D．
8．已知函数，若，则的取值范围是（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．有一组样本数据按从小到大排列为，，，是不为0的常数，则（???）
A．的极差等于的极差
B．的第50百分位数等于的第50百分位数
C．的平均数等于的平均数
D．的方差等于的方差
10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（???）
A． B．若直线倾斜角为，则
C． D．与之间的距离为3
11．已知函数，当且仅当时，导函数成立，则下列说法正确的是（???）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．曲线与在点处的切线方程为.
13．如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，在以，，，，，为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相反的向量共有对.
??
14．三棱锥中，，，，，，向量与向量的夹角为，则三棱锥外接球的表面积为.
四、解答题
15．已知数列是等差数列，前项和为，前三项分别是，，，且.
(1)求和的值；
(2)若（为常数），使得，，成等比数列，求数列的前项和的最小值，及其取最小值时的值.
16．在中，角的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，，的角平分线交于，求.
17．如图，直五棱柱中，四边形为正方形，，二面角的平面角为，为中点.
(1)当时，证明：平面；
(2)当直线与平面所成的角为时，求的值.
18．电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿.“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据：
线上宣传投入金额（万元）
20
30
40
50
60
70
游客满意度评分（分）
60
65
70
78
80
85
(1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由（精确到小数点后两位）；
(2)《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，.
①若甲以获胜的概率为，求的最大值；
②在①中，若，以作为的值，设甲、乙比赛的局数为，求的分布列和期望.
参考公式：相关系数，，
参考数据：.
19．已知动点与两个定点，的距离的比为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过上的动点作的切线交轴于点，以为圆心，为半径的圆与轴交于，.已知，，连接，交于点.
①求动点的轨迹方程；
②过点的直线与点的轨迹交于，两点，过作轴的垂线，记与直线0的交点为，若，证明：直线过定点.
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《四川省乐山市2025届第三次调查研究考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
B
C
B
D
C
AD
AC
题号
11
答案
ABD
1．A
【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】因为，所以，则，
故选：A.
2．B
【分析】首先得到，的坐标，得到的坐标，再求其模或直接利用两点之间的距离计算即得.
【详解】法一：因为，，所以，，
所以，则，即.
法二：如图，