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2025年大学试题(理学)-数值分析考试近5年真题集锦（频考类试题）带答案
第I卷
一.参考题库(共80题)
1.用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为（1，0）T。
2.用改进的尤拉方法解初值问题 取步长h=0.1计算，并与准确解y=-x-z+2ex相比较。
3.用二分法求方程的正根，要求误差小于0.05。
4.试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？
5.证明：当且尽当x和y线性相关xTy≤0且时，才有。
6.设初值问题 （1）写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式； （2）写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解y1，y2，保留两位小数。
7.简述二分法的优缺点。
8.则=（），=（），=（），=（）。
9.用Romberg方法求，要求误差不超过。从所取节点个数与上题结果比较中体会这2种方法的优缺点。
10.用高斯－塞德尔方法解Ax=b，用xi（k+1）记x（k+1）的第i个分量，且 （a）证明； （b）如果ε（k）=x（k）-x*，其中x*是方程组的精确解，求证： 其中。
11.证明
12.证明对任意参数t，下列龙格－库塔公式是二阶的。
13.用高斯-塞德尔方法解方程组取，迭代四次（要求按五位有效数字计算）。
14.拉格朗日插值多项式的余项是（）
A、f（x，x0，x1，x2，…，xn）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）
B、
C、f（x，x0，x1，x2，…，xn）（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）
D、
15.设A为n阶矩阵，如果称A为对角优势阵。证明：若A是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A具有形式
16.已知数值积分公式为： 试确定积分公式中的参数λ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。
17.导出具有下列形式的3阶方法：
18.对于f（x）=0的牛顿公式， 证明收敛到，这里x*为f（x）=0的根。
19.数值求积公式的代数精度为（）
20.用梯形方法解初值问题 证明其近似解为 并证明当h→0时，它收敛于原初值问题的准确解y=e-x。
21.用二分法求非线性方程f（x）=0在区间（a，b）内的根时，二分n次后的误差限为（）。
22.设f（x）=3x2+5，xk=kh，k=0，1，2...，则f[xn，xn=1，xn+2]=（）；f[xn，xn+1，xn+2，xn+3]=（）。
23.用辛普森公式求积分并计算误差
24.设f（x）=（x-x0）（x-x1）…（x-xn）求之值，其中，而节点互异。（均差的计算）
25.计算积分，取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为（），用辛卜生公式计算求得的近似值为（），梯形公式的代数精度为（），辛卜生公式的代数精度为（）。
26.试用最小二乘法，求解下列超定方程组：
27.解初始值问题近似解的梯形公式是yk+1≈（）。
28.导常微分方程的初值问题的数值解公式：
29.给定下列函数值表：
30.设 求∥A∥∞，∥A|1，∥A∥2及cond（A）∞，cond（A）2。
31.若yn=2n，求及。
32.什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？
33.已知，求Householder阵H使Hx=ky，其中。H=（）
34.φ（x）=x+a（x2-5），要是迭代法xk+1=Φ（xk）局部收敛到则a的取值范围是（）。
35.如果方阵A有aij=0（|i-j|t），则称A为带宽2t+1的带状矩阵，设A满足三角分解条件，试推导A=LU的计算公式，对r=1，2，...，n。
36.设xi（i=0，1，2，3，4）为互异节点，li（x）为相应的四次插值基函数，则=（）。
37.（）的3位有效数字是0.236×102。
A、0.0023549×103
B、2354.82×10-2
C、235.418
D、235.54×10-1
38.如有下列表函数： 则一次差商f[0.2，0.4]=（）
39.f（x）是[-a，a]上的连续奇（偶）函数，证明不管n是奇数或偶数，f（x）的最佳逼近多项式F*n（x）∈Hn也是奇（偶）函数。
40.已知求解常微分方程初值问题的数值格式为 问此数值格式是几阶格式？
41.用改进的Euler法解初值问题取步长h=0.1计算y=（0.5），并与精确解y=