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2025年大学试题(理学)-数值分析考试近5年真题荟萃附答案
第I卷
一.参考题库(共80题)
1.试分别求出用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组 的第k次迭代误差的一般表达式。方程组的精确解为x*=[1,1]T。
2.l0（x），l1（x），...，ln（x），是以整数点x0，x1，...，xn为节点的Lagrange插值基函数，则=（），=（），当n≥2时，=（）。
3.若用二分法求方程f（x）=0区间[1，2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分（）次。
4.实数a≠0，考察矩阵，试就方程组Ax=b建立Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的计算公式。讨论a取何值时迭代收敛。
5.设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零。
6.求A、B使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求（保留四位小数）。
7.设x的相对误差为a%，求y=xn的相对误差。（函数误差的计算）
8.比较求ex+10x-2=0的根到三位小数所需的计算量；1）在区间[0，1]内用二分法；2）用迭代法xk+1=（2-exk）/10，取初值x0=0。
9.对初值问题证明用梯形公式所求得的近似值为
10.设且P∈Rn×n非奇异，又设║x║为Rn上一向量范数，定义║x║p=║Px║。试证明║x║p是Rn上的一种向量范数。
11.设li（x）是以xk=k（k=0，1，...，9）为节点的Lagrange插值基函数，则=（）
A、x
B、k
C、i
D、1
12.以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。
13.由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）
A、5
B、4
C、3
D、2
14.（a）设A是对称矩阵，λ和是A的一个特征值及相应的特征向量，又设P为一个正交阵，使Px=e1=（1，0，...0）T 证明B=PAPT的第一行和第一列除了λ外其余元素均为零。 （b）对于矩阵 λ=9是其特征值，是相应于9的特征向量，试求一初等反射阵P，使Px=e1，并计算B=PAPT。
15.中待定参数Ai的值（i=0，1，2），使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。
16.若yn=2n，求及。
17.给定函数f（x），设对一切x，f′（x）存在，而且，证明对的任意常数λ，迭代法xk+1=xk-λf（xk）均收敛于方程f（x）=0的根。
18.设假定g是准确的，而对t的测量有±0.1秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减小。
19.试用消元法解方程组假定只用三位数计算，问结果是否可靠？
20.设x=（3，-1，5，8）T，则=（），=（），=（）。
21.已知a=1.2031，b=0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a+b，a×b有几位有效数字？（有效数字的计算）
22.用牛顿法求的近似值，取x0=10或11为初始值，计算过程保留4位小数。
23.n次插值型求积公式至少具有（）次代数精度，如果n为偶数，则有（）次代数精度。
24.设detA≠0，用a，b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.
25.已知函数值f（0）=6，f（1）=10，f（3）=46，f（4）=82，f（6）=212，求函数的四阶均差f[0，1，3，4，6]和二阶均差f[4，1，3]。（均差的计算）
26.解初始值问题近似解的梯形公式是yk+1≈（）。
27.设A与B为n阶矩阵，A为非奇异，考虑解方程组 其中。 （a）找出下列迭代方法收敛的充要条件 （b）找出下列迭代方法收敛的充要条件 比较两个方法的收敛速度。
28.设x∈Rn，x=（x1，x2，...，xn）T求证
29.n=3，用复合梯形公式求的近似值（取四位小数），并求误差估计。
30.在某化学反应里，根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下，用最小二乘拟合求y=f（t）。
31.设f（x）=3x2+5，xk=kh，k=0，1，2...，则f[xn，xn=1，xn+2]=（）；f[xn，xn+1，xn+2，xn+3]=（）。
32.已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值X（0）=（0.0.0），应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算X（1）（保留小数点后五位数字）.
33.已知函数的一组数据： 求分段线性插值函数，并计算f（15）的近似值.
34.证明解y′=f（x，y）的下列差分公式 是二阶的，并求出截断误差