微专题9不规则图形的面积的计算
1.[2024辽宁大连三模]如图，在半径为2的⊙O中，AB为⊙O的一条弦，将AB所对的劣弧沿AB翻折后恰好经过圆心，连接AO并延长交⊙O于点C，则图中阴影部分的面积为()
A.54
C.43?4
2.[2024山东泰安二模]如图,在菱形ABCD中,∠D=60°,AB=4,以B为圆心、BC长为半径画弧AC,点P为菱形内一点,连接PA,PB,PC.当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为()
A.83π?2
C.8π
3.[2024河北遵化二模]如图，将含60°角的直角三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△ABC,点B经过的路径为弧BB,若∠BAC=60°,AC=3,则图中阴影部分的面积是()
A.34πB.32
4.[2024山东临沂一模]如图，两个半径均为1，圆心角均为直角的扇形的圆心分别在对方的圆弧上,扇形CFD的圆心C是AB的中点，将扇形CFD绕着点C旋转，两扇形半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中阴影部分的面积等于()
A.π2?1B.π2
5.[2024广东汕头校级模拟](1)【问题探究】如图1,在正方形ABCD中,点E是边BC延长线上一点,AC=CE,连接AE交CD于点O,以点O为圆心,OD长为半径作⊙O.求证:AC是⊙O的切线.
(2)【知识迁移】
如图2,在菱形ABCD中,点E是边BC延长线上一点,AC=CE,连接AE交CD于点O,以点O为圆心的⊙O与AD相切于点M.
①AC与⊙O的位置关系为;
②若cosB=
微专题9不规则图形的面积的计算
1.B解析:如图,作O关于AB的对称点D,连接OD交AB于E,连接OB、DB,由折叠知,OB=DB=2,OD⊥AB,
∵OD=OB=2,
∴OB=OD=BD,
∴△OBD是等边三角形,∠DOB=∠ODB=60°.
∵OA=OB,
∴∠AOB=2∠DOB=120°,
∴∠BOC=60°.
∵OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴OC=OB=OD=BD=BC=2,
∴四边形ODBC是菱形,
∵BE=OB?
∴
∵O是ADB所在圆的圆心，点D为O关于AB的对称点,∴D是AOB所在圆的圆心，
∴
∴
2B解析:如图,连接AC,延长AP交BC于E,
在菱形ABCD中,∠D=60°,AB=4,
∴∠ABC=∠D=60°,AB=BC=4,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,
∵△BPC为等腰三角形,∴PB=PC,
∴AE⊥BC,
∴∠PAB=∠PAC,BE=CE=2,
∵△BPC为等腰直角三角形，
∴PE=
在Rt△ABE中AE=
∴AP=AE-PE=23-2,
∴S刚时=S
3.C解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=3,
∴∠ABC=30°,
∴AB=2AC=6,
根据旋转的性质知△ABC≌△ABC,则S
∴
=
=
4.A解析:如图,过点C分别作CM⊥AE于M,CN⊥BE于N,连接EC,则四边形CMEN是矩形,∴∠MCN=90°,
∵两个扇形的半径均为1，圆心角均为直角，
∴两个扇形面积和为90π?
∵C是AB的中点,
∴∠AEC=∠BEC,即EC平分∠AEB,
∴CM=CN,
∴四边形CMEN是正方形，
∵∠MCN=∠GCH,
∴∠MCG+∠GCN=∠NCH+∠GCN,
∴∠MCG=∠NCH,
又∵∠CMG=∠CNH,CM=CN,
∴△CMG≌△CNH(ASA),
∴空白部分的面积等于对角线的长为1的正方形CMEN的面积，
∴空白部分面积为1
∴阴影部分面积为1
5.(1)见解析(2)①相切②18
解析:(1)证明:如图1,过点O作OK⊥AC于点K,
∵AC=CE,
∴∠OAK=∠E,
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE,AD⊥OD,
∴∠OAD=∠E.
∴∠OAD=∠OAK,即AO为∠DAK的平分线，
∵AD⊥OD,OK⊥AC,
∴OD=OK,
又∵OD为⊙O的半径,
∴点K在⊙O上,
∴AC是⊙O的切线.
(2)①如图2,过点O作OG⊥AC于点G,连接OM,
∵⊙O与AD相切于点M,
∴OM⊥AD,
∵AC=CE,
∴∠OAG=∠E,
∵四边形ABCD是菱形