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人教版新课标普通高中◎数学⑤必修
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第三章不等式
概述
不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容.建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.根据课程标准，在本章中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的内在联系.
1．内容与课程学习目标
本章主要学习描述不等关系的数学方法，一元二次不等式的解法及其应用，线性规划问题，基本不等式及其应用等，通过学习，要使学生达到以下目标：
（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的实际背景.
（2）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.
（3）从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
（4）探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单最大（小）值问题.
2．教学要求
（1）基本要求
①了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；理解不等式（组）对于刻划不等关系的意义和价值；会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，能用不等式（组）研究含有不等关系的实际问题.
②理解并掌握不等式的基本性质；了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.
③理解一元二次不等式的概念；通过图象，理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系.
④理解并掌握解一元二次不等式的过程；会求一元二次不等式解集；掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想，会设计求解的过程.
⑤了解从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）模型的过程；理解二元一次不等式（组）、二元一次不等式（组）的解集的概念；了解二元一次不等式的几何意义，理解（区域）边界的概念及实线、虚线边界的含义；会用二元一次不等式（组）表示平面区域，能画出给定的不等式（组）表示的平面区域.
⑥了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解的概念；掌握简单的二元线性规划问题的解法.
⑦了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算术平均数，几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最大（小）值的问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值.
（2）发展要求
①体会不等式的基本性质在不等式证明中所起的作用.
②会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题并加以解决.
（3）说明
①不等式的有关内容将在选修4-5中作进一步讨论.
②淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用.
③突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形.
3.教学内容及课时安排建议
3.1不等式与不等关系（约2课时）
3.2一元二次不等式及其解法（约2课时）
3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（约2课时）
3.3.2简单的线性规划问题（约2课时）
3.4基本不等式：（约2课时）
师：同学们能证明以上不等式的基本性质吗？
证明：（1），∴；
（2），∴．
实际上，我们还有.
（证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．）
根据两个正数的和仍是正数，得
（a－b）＋（b－c）＞0，即a－c＞0，∴a＞c．
于是，我们就得到了不等式的基本性质：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；.
例1已知求证.
证明：因为，所以ab0,.
于是，即.
由c0，得.
例2比较（a＋3）（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小.
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要）.根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.
解：由题意可知：
（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）
＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）
＝－７＜0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2